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tanhというモノ
この間物体が空気中を落下し空気抵抗が速度の二乗に比例する場合の微分方程式 dv/dt＝(mg-kv^2）／m （mは物体の質量、kは空気抵抗係数） の特殊解はtanhというモノを使っていましたが、tanhというのはなんなのでしょうか？
- mathematik
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tanhθ = sinhθ / coshθ sinhθ = (e^θ - e^(-θ)) / 2 coshθ = (e^θ + e^(-θ)) / 2 だったように思います。それぞれ、ハイパボリック・タンジェント、ハイパボリック・サイン、ハイパボリック・コサインと読みます。 なぜこのようなものが定義されているかというと、 オイラーの公式から sinθ = (e^iθ - e^(-iθ)) / 2i cosθ = (e^iθ + e^(-iθ)) / 2 が導かれますが、ここで虚数単位iを取ることで定義されたsinh、cosh等が、三角関数にやや似たような性質を持つところがあるからです。 それ以外はあまり深い意味はないと思います。
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- info22
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tanh x＝{exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)} ＝{exp(2x)-1}/{exp(2x)+1} ＝{1-exp(2x)}/{1+exp(-2x)}} という関数です。 x → -∞で tanh x → -1に漸近, x＝0 で 1, x → ∞で tanh x → 1に漸近 する -1＜tanh x ＜1 の範囲の値域をとる 単調増加の関数です。 ここで、exp(x)はe(自然対数の底)のx乗のことです。
- Tacosan
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双曲線関数というやつですね. #2 で書かれている sin, cos と sinh, cosh の関係ですが, sin や cos は普通「三角関数」と呼びますが, 点 (cos t, sin t) の軌跡が円を描くことから「円関数」と呼ぶこともあります. これに対して点 (cosh t, sinh t) の軌跡は x^2 - y^2 = 1, つまり直角双曲線 (の x 座標が正の部分) であることから sinh, cosh などを双曲線関数と呼びます. あとは三角関数と同様に tanh, sech なども定義されています.
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