ベクトルの分解

質問

あるベクトルＡがあったとします。例えばこれを（2,3,4）とかとしておいて、ある単位ベクトルｅ＝（1,0,1/2)とかがあり、これと同方向のベクトルとさらに垂直なベクトルにわける場合どのようにすればよいのでしょうか？
内積や外積は関係ありますか？
内積＝０で垂直ということなので関係ありそうなんですが、よくわかりません。よろしくお願いします。

回答No.5

student_of_kit

e=(1,0,0)
2 e = ( 2, 0, 0)

分解
A - 2e
=( 2 , 3 , 4) - ( 2, 0, 0)
=( 0 , 3, 4)

検算
(A-2e)e
(0, 3, 4)(1, 0 , 0)
=(0, 0, 0)

回答No.4

toranekosan

なるほど！　解答が間違ってました！m(__)m

単位ベクトルe1とベクトルaが与えられていた場合、
ある０で無い定数b,cを考えて
a=b(e1)+c(e2)
e1*e2=0
解き方はまずe2を見つけて(これを解くと一つの
パラメーターを許してしまうので、単位ベクトル
という意味をつけて、e2*e2=1を満たすようにする）
a*e2=b(e1*e2)+c(e2*e2)=c
a*e1=b(e1*e1)+c(e2*e1)=b
というのが訂正です。

さて…仕切り直しします。

問題の意味が…という事なので。

Aというベクトルが与えられていて、
このAをe1と平行なベクトルA1と、A1と垂直なベクトルA2を考えてA=A1+A2のようにしたい。
と言うように題意を変えます。（おんなじ事なんだけど
言い方を変えると分かりやすくないですか?）

e1と平行なベクトルA1はどういう風になるかというと
A1=k(e1) kは0でない定数

A1と垂直なベクトルA2といったら
A1*A2=0

最後に
A=A1+A2

この三つの式をまとめると
A=k(e1)+A2
k(e1*A2)=0 さらに進めて e1*A2=0
この方程式を解くことになる。

簡単な解き方＞
A*e1=k(e1*e1)+A2*e1=k+0=k
からナイセキするだけでkが求められます。
それからA2=A-A1=A-k(e1)=A-(A*e1)(e1)
とベクトルの引き算で求められます。

おっしゃる通り、A1*A2=0からA2を求めなくても良いと言えばその通りです。何故かというと、すでにAというベクトルが与えられているからなんです。もし、与えられていなかったら、e1に垂直なベクトルを考えるのであればe1*e2=0を考えなければいけません。

…しかし解答に気づくのが遅くて申し訳ありません…しばらくチェックすらしてなかったので。

回答No.3

toranekosan

一般に、平面内のベクトルは二つのベクトルで表す事が出来ます。

そのため、ここでは外積は使いません。なぜならば、外積は二つのベクトルが張る平面に垂直なベクトルであるからです。（教科書をちょっと読んで下さい。）

すでにベクトルAとeが二つ与えられているので、Aを表現するには、Aとeが張る平面内に収まるベクトルで、尚且つ、eと直交するベクトルを求める必要があるのです。

そして、その回答方法は正に下記の回答者にあるような形になります。

一般には次の方程式を解けばよいです。
求めるベクトルをe2とし、e1とaというベクトルが与えられたとします。

a=e1+e2
e1*e2=0
を解く。
（簡単な三次元連立方程式）

あるいは、下の人のように
g=a*e1/|e1|
e2=a-{(a*e1)/|e1|}e1
とすればよいです。

単位ベクトルにしたいのならば
e11=e1/|e1|
とすればよいので。
これが一般的な直交基底を求める方法ですな。

補足

ありがとうございます。
すでに書いたのですが、aとe1が与えられてるなら、a=e1+e2の式だけでe2はもとまりませんか？
ベクトルＡをｅと同方向のベクトルＡ１と、これに垂直なベクトルＡ２に分解するという問題の意味を自分でもよく理解していないため、自分の勘違いかもしれませんが、またよろしくお願いします。

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

(1,0,1/2)は単位ベクトルじゃありませんが？

同方向のベクトルは a=(2,3,4) の e=(1,0,1/2) への正射影になります。
e方向の単位ベクトルは e' = e/|e|
aのe方向成分の大きさは、なす角θとすると、
acosθ = |a| a・e/|a||e| = a・e/|e| ですので、
求めるベクトルは a1 = (acosθ)e' = (a・e/|e|^2) e になります。

垂直なベクトルは a2 = (x,y,z)とおいて、a1 + a2 = a かつ a1・a2 = 0 となる a2 を求めれば良いのでは？

補足

ありがとうございます。
ひとつお聞きしたいのですが、
a1とaが求まっているなら、a1 + a2 = aの式だけでa2が出るんじゃないんですか？
またよろしくお願いします。

回答No.1

mech32

> 内積＝０で垂直ということなので関係ありそう

正にそのとおりです。ある単位ベクトルをe1、任意のベクトルをaとして、両者の成す角をθとすれば、内積は

a・e1=|a||e1|cosθ=|a|cosθ

と書けるので、結局、aの単位ベクトル方向成分を取り出していることになります。e1に対して垂直な方向の成分を求めたければ、e1に直交する単位ベクトルe2を準備して内積をとれば良いです。次元が増えたらe3,e4,,,と、どんどん増やしていくだけです。もちろん、aとe1が直交すれば、aのe1方向成分は0なので、内積は0です。ちなみに、

>（1,0,1/2)

は大きさが1ではないので、単位ベクトルではありません。

補足

ありがとうございます。
そうですね。
(√3/2 , 0 , 1/2)の間違いでした。これなら単位ベクトルになりますね。
もうしわけございません。