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三角関数の問題を教えてください！
keros66の回答
- keros66
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(1) θのとりうる範囲は １５°＜θ＜１５０° です。これは、△ＡＢＣが３角形 として形成できる範囲として決まります。 (2) △ＡＢＣの面積Ｓは、△ＡＰＣの面積Ｓ１と△ＡＢＰの面積Ｓ２の和になります。すなわち Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２ です。そして、正弦定理から、 ＡＣ＝sinθ／sin(θ+30°) となります。したがって、ＡＰ＝１ を考慮すると Ｓ１＝（１／２）sinθ sin30°／sin(θ+30°) となる。同様にして ＡＢ＝sinθ／sin(θ-15°) Ｓ２＝（１／２）sinθ sin15°／sin(θ-15°) となる。したがってＳは Ｓ＝(1/2)sinθ sin30°／sin(θ+30°)＋(1/2)sinθ sin15°／sin(θ-15°) ＝sin45°(sinθ)^2/{2sin(θ+30°)sin(θ-15°)} となり、１／Ｓは １／Ｓ＝2sin(θ+30°)sin(θ-15°)／｛sin45°(sinθ)^2｝ となる。 （３）Ｓを最小にする（したがって１／Ｓを最大にする）θを求めるスマートな方法が私には見つからない。そこで、かなり煩雑になるが、次のように正攻法で扱ってみる。 まず、１／Ｓのθに対する微分を０にする（これは連続な関数が最大値をとるための必要条件である）ようなθを求める。次に、このθで１／Ｓが最大になることを確認する。さらにこの値をＳの式に代入してＳの最小値を求める。 d(1/S)/dθ=(2/sin45°)[{sin(θ+30°)cos(θ-15°)+cos(θ+30°)sin(θ-15°)} ×(sinθ)^2-2sinθcosθsin(θ+30°)sin(θ-15°)]/(sinθ)^4＝０ これが成立するためには、[ ]内の式が０であることが必要十分である。 [ ]内の式の両辺を適当にわり算して、整理し、次の式を得る。 {１／tan(θ-15°)+ １／tan(θ+30°)}tanθ－２＝０ これに、加法定理を用いて展開し、整理すると次の式を得る。 （1+(tanθ)^2){(tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°} ＝０ この式で、最初の因数は常に正であるから、結局、｛ ｝内が０ということになる。すなわち、 (tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°＝０ これからθを求めると、 tanθ＝2tan15°tan30°／(tan30°-tan15°)＝１ ∴ θ＝45° (θのとりうる範囲を考慮してある） なお、この計算には、次の値を利用した。これは公式集などにも出ているし、２倍角の公式などを用いて導くこともできる。 tan15°=2-√3, tan30°=√3/3 このθのとき、Ｓが（最小値などでなく）最大値をとることは、幾何学的考察からわかる。（詳細な説明は省略） 次に、面積Ｓの式に θ＝４５°を代入すると、面積の最大値は次のようになる。 Ｓ＝(sin45°)^3/{2sin75°sin30°}＝(sin45°)^3/{2cos15°sin30°} ＝(1/√2)^3/{2×(√6+√2)/4×(1/2)}＝1/(1+√3)＝(√3-1)/2 ここで、次の値を使用しています。 cos15°＝ (√6+√2)/4
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