高校物理のリュードベリ定数について

質問

なぜ　
1/λ=(2π^2k^2me^4/ch^3)*(1/a^2-1/b^2)[a=1,2,3・・・][b=a+1,a+2,a+3・・・]
がリュードベリ定数Ｒを証明したことになるんですか？

ちょっと質問がわかりにくいと思うんですけど、どう聞けばいいのかも
よくわからないので、わかる人がいたら教えてください。

回答No.1

hogehogeninja

リュードベリは太陽光の線スペクトルについて

1/λ=Ｒ*(1/a^2-1/b^2)[a=1,2,3・・・][b=a+1,a+2,a+3・・・]
R=1.097 *10^7 [1/m]
の関係があることを見つけたわけですが、そのＲがなぜ
Ｒ＝2π^2k^2me^4/ch^3
と表されると説明できるか、という意味ですね。

ひとつひとつ式を書いたり図をかいたりしながら、自分で追っていくとわかりやすいと思います。

i)まず予備知識として、電子は波動の性質をもち、
1/λ=p/h ........(1)
という波長を持っています。pは運動量でmvです。

ii)ボーアは、原子核の周りを電子が波として回っているときを考えました。
そのとき、その向心力はクーロン力です。ある半径ｒで回っているとき、クーロン力は
F=kZe^2/r^2 ........(2) [Ze は原子核の電荷、e は電気素量]
また、ことのき速さvで等速円運動をしているとすると、
F=mv^2/r ........(3)

(2)と(3)を連立させて、ある半径ｒでは決まった速さ
v=√(kZe^2/rm) ........(4)
で回っていることが分かります。

ここが特に物理として重要です。
iii)さらにボーアは、波としての電子波は、原子の周りで一周したとき、元の位相に戻る定在波を考えました。一周が、ちょうど波長の正数倍になっている時です。
2πr=aλ　　　...[aは正の整数]
=ah/mv ........(5)
　　　　[(1)を使って]

iv)(4)と(5)は、別々の理由で半径ｒの時の速度ｖを決めています。
なので、両方を同時に満たすには、特別なｒの時だけになります。
そのｒを(4)と(5)を使って求めると、
r=(ah)^2/(2π)^2kmZe^2 ...[aは正の整数] ...(6)
となり、a の値に応じた飛び飛びの半径しか電子の軌道は許されません。

このとき、そのおのおのの軌道にいるときのエネルギーは
E=mv^2
=4π^2k^2mZ^2e^4/h^2 × 1/a^2 ........(7)

となります。

v)さて、電子がそれぞれ a の値で指定される軌道から別の b という値で指定される軌道に移るとき、その差のエネルギーを出し入れします。その差のエネルギーをE_　とすると
E_ = 4π^2k^2mZ^2e^4/h^2 × (1/a^2-1/b^2) ........(8)

vi)このエネルギーの出し入れを光子で行ったとすると光子１個のエネルギーE_は波長と
E_ = hc/λ ........(9)

から、
hc/λ = 4π^2k^2mZ^2e^4/h^2 × (1/a^2-1/b^2) ........(10)
です。
原子核が水素原子核のとき、Z=1です。（この結果は電子を１つだけ残して他を全て取り去った原子核のときに正しいので、Z=1以外では実用的な意味であまり意味がありません）

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というようにＲは説明されています。