球の面積

質問

S＝４パイr二乗＝４X（大円の面積）
がなぜそうなるのかわかりません。

どうか教えて頂けないでしょうか？お願い致します。

回答No.3

mech32 · ベストアンサー

球の体積の公式

V=(4パイr三乗)/3

は納得されているでしょうか？もし納得されていれば、この公式から表面積を求めるこもできます。考え方は、

みかんの体積　－　みかんの中身の体積　＝　みかんの皮の体積

のように考え、このみかんの皮の厚さをどんどん薄くしていくと、皮の表面積になる、というものです。実際にやってみます。

皮の厚さ：t
みかんの中身の半径：r
表面積：S

とすると、皮の体積は、厚さ×表面積=Stなので、

(4パイr三乗)/3　－　(4パイ(r+t)三乗)/3　=　St
　　　↑みかん　　　　　　↑中身　　　　　↑皮

です。これを展開してSについて整理すれば

S　=　4パイ　×　(r二乗　+　rt　+　t二乗/3)

になります。ここで、皮の厚さをどんどん薄くしていって、厚さ0にしてしまえば、t=0ですから、括弧内の2項目と3項目は0になってしまうので、結局

S=4パイr二乗

だけが残ります。標語風に言えば、「球の表面を覆う、無限に薄い皮の体積=表面積」ということになるでしょうか。実はこの操作は微分の定義そのものなので、

S=dV/dr

という微分の操作を、定義に従って実行したことになります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

BLUEPIXY

球の体積が（４πｒ＾３）／３だとわかっているとする
ここで、球の中心を頂点とする角錐が球の中にｎ個あると考えると
角錐全体の体積は｛（角錐の底面積×高さ）／３｝×ｎ
ｎ→∞に大きくしていくと、
高さ→ｒ
角錐の底面積×ｎ→球の面積
全体の体積→球の体積
にそれぞれ近づくことがわかる。
なので、
（４πｒ＾３）／３＝｛（角錐の底面積×高さ）／３｝×ｎ＝Ｓｒ／３
より
Ｓ＝４πｒ＾２

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

mech32

#3です。すみません。間違いがあったので訂正します。

誤：(4パイr三乗)/3　－　(4パイ(r+t)三乗)/3　=　St
正：(4パイ(r+t)三乗)/3　－　(4パイr三乗)/3　=　St

誤：「球の表面を覆う、無限に薄い皮の体積=表面積」
正：削除

無限に薄い皮の体積は0でした(><;)。申し訳ありません。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

punta11so

下記　ＵＲＬを参考にしてみては。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

zorro

こちらをどうぞ

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm

お礼

ありがとうございます。