ポアソン比の質問ですが・・・

質問

問題で『比圧縮性の物体のポアソン比(Ec/En)γが0.5にあることを証明せよ。』という問題で、変形前と変形後の体積は一緒なのでこの体積をＶとおくと、
a*a*l=(a+Δa)*(a+Δa)*(l+Δl)
となり、
Ec=Δa/a,En=Δl/l
なのでこれを代入して・・・ていう方法でやったりしてもなかなか証明ができません。
アドヴァイスでもなんでもいいので、教えてください。

回答No.2

psa29 · ベストアンサー

変形させても体積一定だとするとポアソン比は0.5になりますが、それは微小変形の時です。

非圧縮性物質を引っ張ると、長さは伸びますが径は縮みます。
それ故、お示しの数式ではΔの符号が間違っています。
a*a*l=(a-Δa)*(a-Δa)*(l+Δl)でなければなりません。
右辺の（　）を展開して、全て開いて行けばいいと思います。
そして、微小変形という前提から、Δの２乗、３乗の項は、全て0であると近似します。
微小×微小ですから無視するのです。
あとは、約分できるものは約分し、整理すれば
（Δa/a）/（Δl/l）=1/2となるはずですよ。

回答No.1

Drunk

変形が十分小さければ
a*a*l=(a+Δa)*(a+Δa)*(l+Δl)
=a*(1+Δa/a)*a*(1+Δa/a)*l*(1+Δl/l)
　　≒a*b*c*(1+2*Δa/a+Δl/l)
体積不変なので
　2*Δa/a+Δl/l=0