積分を含む式が最大となるような関数を求めたい

質問

xに関する未知の関数: Y(x)
xに関する関数: L(x) (但しL(x)は1/(1+πx^2)で与えられるローレンツ関数)
のとき、
∫YL dx / ∫Y dx
が最大になるような関数Y(x)は解析的に求まりますか？解析的に求まらない場合、数値的に求める手法はありますか？

回答No.2

Drunk · ベストアンサー

通常このような問題は変分法で解くと思いますが、この場合は単純にはいかないようです。

#1さんのおっしゃるように、x=0を特異点とするデルタ関数になると思います。数値的に解くことはできません。

回答No.3

Drunk

補足します。
Yを定数倍しても結果は変わらないので、∫Y dx＝１としてよい。すると∫Y dx＝１の制限の元で、∫YL dx を最大にするYを求めればよいことになる。Lはx=0で最大になるので、Yはx=0に近いほど値が大きいほうが∫YL dx も大きくなる。極限を考えると、x≠0で０、x=0で無限大となるデルタ関数が最大の積分値（＝１）を与えることになります。
デルタ関数は、積分値が１で幅が無限小、高さが無限大のローレンツ関数のような関数です。

回答No.1

guuman

Ｙ＝δでは？