二次関数の問題

質問

(1)変数 x,y の間に　ｘ＋ｙ=4の関係があるとき、P=ｘ2＋ｙ2の最小値はアであ　る。さらにｘ≧０・ｙ≧０の条件が加われば、Ｐの最大値はイである。　
(2)二次関数Ｆ（ｘ）＝ｘ2＋（１－a）ｘ＋ｂのグラフがｘ軸から切り取る線分の長　さが１のとき、a,bの間にはｂ＝ウa2＋エaの関係があり、ｂのとり得る範囲はｂ　≧オである。
(3)Ｆ（ｘ）＝ｘ2－２ｋｘ＋ｋ2＋２について次の問に答えよ。ただしｋは定数と　する。
　１，任意のｘについてＦ（ｘ）≧６が成り立つとき、ｋの最小値はｋ＝カであ　　　　る。
　２，ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフがｘ軸と交わる点を（a,0),(5a,o)とするとa＝キまた　はクである。

この３問のア～クを教えてください。あっ、ｘ2などの2は二乗のことです。それと説明など加えていただけるとうれしいです。

回答No.5

red_snake · ベストアンサー

(3)は問題がやはり違っていたんですね。(あんなこといって間違えてたらと・・・)
答えはCake0530さんのやり方と一緒です。
一箇所だけ。
ｆ（ｘ）＝ｘ^2ー６ａ＋５ａ^2はｆ（ｘ）＝ｘ^2ー６ａｘ＋５ａ^2です。(ｘが抜けてました)
あら捜しのようですみません。
平方完成したときに下に凸のグラフは最小値が、上に凸のグラフは最大値が現れます。こういった問題はそこが良く狙われるかと思います。
最後に、グラフがかけそうであれば書いてやった方が良いです。2つグラフが出てきたりするときに図を書くと気づく事も多いです。

お礼

ありがとうございます(^_^)すみません、２度も答えてもらって・・・

回答No.4

Cake0530

（２）ですが、高校１年生なら敢えて解く必要もないかと思います。解答を見て“ふ～～～ん”くらいで。２年生で習う“解と係数の関係”ってやつを使ったほうが早いです。（やり方を知っておくのは良いことだと思うけど）

　ｒｅｄ＿ｓｎａｋｅさんの手柄を横取りするようで気が引けるけど、ついでに（３）の解答を・・・。

　解〕　平方完成によって、ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｋ）^2＋２ｋ＋２。下に凸のグラフを思い浮かべて、最小は頂点のｙ座標（２ｋ＋２）だから、２ｋ＋２≧６。これを満たす最小のｋはｋ＝２。（前半の解答）

　また、ａ、５ａを解に持つことから、ｆ（ｘ）はｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－５ａ）と因数分解できて、展開するとｆ（ｘ）＝ｘ^2ー６ａ＋５ａ^2。これが与式と係数比較できるから　－２ｋ＝－６ａ　かつ　ｋ^2＋２ｋ＋２＝５ａ^2。これをａについて解けば（計算略）ａ＝－１、－１／２（後半の解答）

　僕が高校１年生のときってこんなに難しい問題解けたっけ・・・（汗）

（ポイントをあげるならｒｅｄ＿ｓｎａｋｅさんに差し上げて下さい。僕が手柄横取りみたいな形になっちゃったから）

回答No.3

red_snake

(1)はx+y＝4をx^2+y^2に代入しｙを消去します。
P＝2x^2-8x+16＝2(x-2)^2+8
以上よりx＝2のとき最小値8
また、条件から0≦x≦4、0≦y≦4となります。
グラフはx=2に関して対称なのでx＝0,4のとき最大値16

(2)は解と係数の関係からが一番良いでしょう。
答えはnewtypeさんの物を参照してください。
付け足しておきますと、解を置くときにはα、βの大小を必ず書きましょう。自分でつくった物ですから勝手に決めてかまいません。││は面倒な事になるときもありますので・・・。

(3)は問題文が違う気がします。
もしやと思いk^2を2kとしてやりましたが解が虚数になったので出来ませんでした。
問題文が違っていないのなら相当の悪問です。

最後に、最大最小の問題は平方完成をする事を習慣にしたほうが良いです。

補足

すみません!!３番の問題ですがやはり問題文が間違っていました。正確には、Ｆ（ｘ）＝x^2－２ｋx＋ｋ^2＋２k＋２です。本当にすみませんm(_ _)mあの、１番と２番の考え方はわかったのですが３番がわかりません。もう一度ご説明いただければうれしいです。

回答No.2

newtype

「上に開いている二次関数」なかなか的確な表現です。
rnalaidさんの書き方によると
「下に開いている二次関数」というのもあるね。

さてちょっとした理論を紹介しよう。
＜曲線の凹凸の幾何学的定義＞
曲線ｙ＝f(x)が与えられていてａ≦ｘ1≦ｘ2≦ｂなる任意の定数ｘ1，ｘ2に対して、
点Ａ｛ｘ1，f(ｘ1)｝，点Ｂ｛ｘ2，f(ｘ2)｝とするとき、
（１）弧ＡＢが常に線分ＡＢの下側にあるときは曲線ｙ＝f(x)は、ａ≦ｘ≦ｂで下に凸という。
また、
（２）弧ＡＢが常に線分ＡＢの上側にあるときは曲線ｙ＝f(x)は、ａ≦ｘ≦ｂで上に凸という。

したがって「上に開いている２次関数」は（１）の定義にあっているので下に凸だ。だから「下に凸な２次関数の曲線、あるいはグラフ」と表わせばよい。

また、以下の表現があった方がいいですね。
「したがってこの場合は頂点の座標が最小値と考えられるので…」
採点官はわかってるだろうけど、以下の言葉だけだと不十分でしょ。
「そしてPに代入してP=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8とすると上に開いて
いる二次関数となるので最小値ア＝8（x=2のとき） 」

代入したのに「すると」なんて仮定したような言い方もおかしい。
出来れだけ採点官にわかりやすいように書かなければならない。だから必要もないのに一文字開けないこと。この事だけを気をつけても素晴らしい解答がかけると思います。
また次の最大値ですがｘ＝４のときも最大値１６です。これも忘れずに。

（２）はrnalaidさんのやり方は計算ミスの多い私にはやりたくない解法です。だから解と係数の関係を使った解法で考える。（高校２年の数学Ｂで習うはず）

Ｆ（ｘ）＝０の解をα，βとすると、解と係数の関係より、
α＋β＝ａ－１，αβ＝ｂよって、
（α－β）^2＝（α＋β）^2－４αβ＝（ａ－１）^2－４ｂ
問題文より、｜α－β｜＝１なので、
１＝（ａ－１）^2－４ｂ…（☆）
後は簡単だね。

（３）
＜１＞
まず平方完成する。するとｋが動いてもminＦ（ｘ）＝２≦６
したがって任意のｘについてＦ（ｘ）≧６は不成立。
つまり問題は不能。

＜２＞１の問題が怪しいので解答はしない。

これで終わり。次からは自分考えること。

お礼

詳しい説明、ありがとうございます。newtypeさんの説明をもう一度よく考えながら解いてみますね。

回答No.1

rnalaid

(1)まず、x+y=4を変形してy=4-xとしてみる。

そしてPに代入してP=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8とすると上に開いて

いる二次関数となるので最小値ア＝8（x=2のとき）

最小値のほうはx>=0,y>=0とy=4-x,x=4-yを考慮に入れるとx=0かy=0のとき

が最大値イ＝16となる

(2)y=x^2+(1-a)x+bとおいて、y=0のときx^2+(1-a)x+b=0となり、これを解くと

x=-1+a±(√1+a^2-2a-4b)/2となる。ｘ軸から切り取る線分の長さが１

だから[{-1+a+(√1+a^2-2a-4b)}/2]-[{-1+a-(√1+a^2-2a-4b)}/2]=1

これをbについて解いてウ＝1/4,エ＝-1/2となる。

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ごめんちゃい（T_T)、ここから先はよくわかんなかった...。

ところで、この問題からすると高校一年生さんですか？

私も高校一年生です。このあたりの問題は結構得意だったはずなのですが、

見事に粉砕しちゃいました♪

数学は一人で黙々と勉強するのも良いでしょうけど、やっぱり複数人で

いっしょに考えていく方が楽しくて勉強の延びもはやいと思います。

だから、kirakira333さんもこの問題を解いた際に考えた過程を途中まででも

書いちゃいましょ♪そこから回答する人も学ぶことだってよくあることだし。

んじゃ、またの質問をお待ちしておりマース♪♪（答えられるかどうかはわか

んないけど...。）

お礼

そうです、高１です!!ずっと前にやった問題が今になってできなくなってしまって・・・。ありがとうございます(^-^)