効用関数

質問

消費者の効用関数
U(C1，C2)＝100C1の0.6乗C2の0.4乗　
という式があるのですが、どうして急に○乗が出てきたのか意味が分かりません。最終的には最適な消費量を求めたいのですが・・・
初学者なので、まったく的外れな質問かもしれませんが、どうぞ宜しくお願いします。

回答No.4

dynamic-m · ベストアンサー

効用最大化問題は，ラグランジュの未定乗数法を使うと楽にとけますが，初学者は，効用最大化条件から，解いて，その意味を理解するのが大切です．

教科書にも書いてあるように，その条件は，限界代替率をMRSと定義し，それは，C2をC1で微分してマイナスをつけたものが，つまり，MRS＝-d（C2）/d（C1）のことです．そして，また，それが，U(C1，C2)＝100C1の0.6乗C2の0.4乗を，C1で微分したものを，U1として，C2で微分したのもを，U2と書けば，
MRS＝U1/U2となります．最大化条件は，これが，C1とC2のそれぞれの価格，300と100によって，その価格比300/100＝3から，その条件は，

MRS＝U1/U2＝3(=p1/p2)と書けます．価格比を入れてしまいましたが，ここまでは，教科書の通りです．

また，計算には，U1,U2が必要ですから，すると，U1＝60C1の-04乗C2の0.4乗で，U2＝40C1の0.6乗C2の0.6乗となります．

よって，最大化条件は，

MRS＝（60C1の-04乗C2の0.4乗）/（40C1の0.6乗C2の0.6乗）＝（2/3)×C2/C1＝3より，

C2＝2C1となり，予算制約式300C1＋100C2＝10000（これは，100で割っておくと3C1＋C2＝100と簡単になります）のC2に代入して，C1を解くと，C1＝20
これを，予算制約式の3C1＋C2＝100に入れれば，C2＝40となります．

よって，最適な消費計画は，C1＝20，C2=40となっています．

お礼

分かりやすい回答どうもありがとうございます！
分からず困っていたので、大変助かりました。
有難うございます。

回答No.3

iwow

予算制約もない効用関数を最大化しても意味はないですよ．

考えても見てください．
あなたが,1兆円以上もっていたとして，すべて消費をしたら，効用は大きくなるでしょう．2兆円ではもっとです．この0.6+04＝1というのは，まさに，消費が大きくなると，それと比例して，効用も大きくなるということを意味しています．
経済学的には，この効用関数は一次同次の効用関数といい，規模に関して収穫一定とも言います．

あなたの質問の情報からでは，
効用が無限大になるのが，いいに決まっているので，
最適な消費1，2とも，無限大になるでしょう．

結局，予算制約式がないといけないのは分かりましたか？

お礼

失礼しました！予算制約式は300C1＋100C2＝10000でした。

補足

はい、良く分かりました！
おっしゃっている予算制約式というのは、今の問題だと一万円です。(これで大丈夫でしょうか？)
全くの初学者なもので、意味をなさない質問をしてしまってすみません。宜しくお願いします。

回答No.2

guowu-x

この関数形の場合、内点解になることは知っているものとします。（普通学部レベル、公務員試験レベルでは内点解になるように問題がつくってある）。
従って
MRS（限界代替率）＝価格比
が成り立ちます。
これと予算制約式により各財の消費量を求めることができます。
ラグランジュ乗数法を知っていれば、それによって同じ関係式が得られ解くことができます。

お礼

再度の回答ありがとうございます。
おかげでなんとか解答に到る事が出来ました！

回答No.1

guowu-x

別に効用関数をこのように『定義』しただけですよ。
難しく考える必要はありません。

蛇足ながらこの効用関数にコメントしておくと、この関数はコブ・ダグラス型と呼ばれるものです。
一度、効用最大化問題を解いてみれば分かると思いますが、ちょうど、○乗＋△乗＝１の形になっていて、○乗の部分が所得に占めるその財への支出の割合を表します。

補足

ありがとうございます！
○乗の意味がすごく良く分かりました。
できれば○乗を使った効用最大化問題の解法を教えていただけないでしょうか？