打ち上げのシュミレーション、計算があっているか教えてください

質問

ロケット打ち上げの一秒間隔のシュミレーション

加速度加速度（ｍ/ｓ＾2）＝推力／（機体重量-消費した燃料）-9.8……(1)

空気抵抗なし速度＝初速（ｍ）+(1)……(2)

空気抵抗＝抵抗係数*1/2*空気密度*(2)*｜(2)｜＊最大断面積（ｍ＾２）……(3)
抵抗係数＝0.0001
空気密度＝理科年表より高度から決定

空気抵抗ありの速度＝(2)ー(3)

高度＝初期高度+(3)

　重力損失と空気抵抗のみを考慮した垂直打ち上げのシュミレーションです。
　計算式はこれであってますか？
　教えてください。
　あと、実際のロケットの抵抗係数はどのくらいの値ですか？
　教えてください

回答No.4

Teleskope · ベストアンサー

>>　（一部加筆してます）
無修正加速＝推力/(機体重量－消費燃料) ×時間間隔　　…(1)
重力損失＝9.8×(地球半径/（地球半径+高度))^2×時間間隔　　…(2)
空気抵抗＝0.5×Cd×ρ×(速度)^2×密度断面積　　……(3)
空気抵抗による加速度損失＝(3)÷(機体重量-消費燃料)　　…(4)

最終的な加速＝(1)－(2)－(4)　　…(5)

速度＝速度＋(5)　　…(6)
高度＝高度＋(6)

時間間隔＝0.05 sec
速度の初期値＝0
高度の初期値＝0

地球半径＝6400000 m
空気密度＝1.225 kg/m^3（15℃, 101325Pa）
機体断面積＝20.43 m^2
<<

　大筋は良いと思います。今後もっと脹らむ前に意識的に分けておいた方が良いと思います。

(a) 加速度の計算。
　現在あなたがやっている計算のことです。　ただ、時間間隔を掛けるのは下記(b)で一括がいいでしょう。　上記の(4)式と(6)式に掛かってませんが たぶん書き忘れですね。

(b) 微分方程式の数値積分
　これも現在あなたがやってる計算のことです。加速度×時間間隔＝速度の増分を速度に足し込む。　その速度×時間間隔＝高度の増分を高度に足し込む。　斜め軌道のときは角度変化の計算などが出てきます。

(c) 機体質量や推力や機体断面やCdの変化を与える。
　主な計算は機体質量から 燃料消費率×時間間隔 を引く。最初のうちは一定推力ですね。　こういう計算をはっきり独立させておけば、推力を絞るとか 多段式で切り離す（急に軽くなる、直径が細くなる、Cdも変わる）などを色々盛り込めて楽しいでしょう。

>>　今日、微分分積分のやさしそうな参考書を買ってきました。 <<

　いいと思います、微分はこんな力学計算で生まれたものですから。専門書は高いので近場に図書館があったら大いに利用しましょう。最近は蔵書をインターネットで検索できるようになってきてますね。

>>　やっぱり、正直、英語のHPは苦しいです。科学用語を辞書登録した翻訳ソフトでなんとか対応しようかと考えています。 <<

　紹介したのは全文を読む必要は全くないです。ただ Cd の資料として図を眺めるだけで十分です。最初の pdf のは式がいっぱい書いてありますんで。必要になったときだけ見ればいいと思います。分らない文章を抜き出してこのサイトで質問してる人も大勢いますし。

>>　抗力係数＝0.03 <<

　0.03はとんがり過ぎの流線型でしょう。0.3の書き間違いでしょうか、0.3は「弾丸の形」の低速時によく使われる値ですが、　代表断面積20.43m^2 =φ5.1m、H2ロケットの先端脹らんでる所の直径ですよね。大きなロケットは十秒ほどで音速を超えてしまいますから、
　↓Figure5の音速を超えた一定値あたりを暫定値に。
http://aerodyn.org/Drag/speed-drag.html
　本番は数値テーブルで。

>>　実は、物理法則からなぜロケットの考え方を探るのが今回のシュミレーションの目的なんです。 <<

　なるほど。それでは上記の(a)項、いまやってる手順のほかに、最初に力同志の足し算引き算をやってしまう方法もあります。その最終結果の力÷機体質量＝加速度、という段取りです。　前者は 物理の授業でやる「力の平行四辺形とかの計算」の実例、後者は「ニュートンの運動方程式 F=ma 」の実例ですね。　結果は 今現在やってる方法と全く同じです。

お礼

<上記の(4)式と(6)式に掛かってませんが たぶん書き忘れですね。
はい、書き忘れです。すいません。
＜抗力係数＝0.03
　0.3の間違いです。度々すいません。
　お蔭さまでようやく形になってきました。
　有難うございます。
　現在、マッハ数を組み込もうと考えているのですが、抗力係数とマッハ数のグラフしか見つかりません。
　もし、抗力係数とマッハ数の表のようなものを掲載しているＨＰや資料をご存知でしたら、物理学のカテゴリーに質問を掲載しておりますのでお願いします。

回答No.3

Teleskope

また誤解させそうな書き方をしてしまいました。
「衛星打ち上げクラスのロケットでは空力損失は少ない」
　　↓
「衛星打ち上げクラスのロケットでは全エネルギに対する空力損失の割合は少ない」

お礼

前回の垂直打ち上げ（今回は高度による重力の変動を考慮しました）の間違った点を訂正しました。
　毎度毎度申し訳ありませんが、計算式が正しいか教えていただけたら助かります。

無修正加速（ｍ/ｓ＾2）＝推力（N)÷｛機体重量－消費燃料（ｋｇ）｝×時間間隔*……(1)

時間間隔＝０．０５ｓ

重力損失ｍ/ｓ＾2＝9.8×{（地球の半径*÷（地球の半径+高度*）}＾２×時間間隔……(2)

*高度＝前の時間(0.05秒前）の高度
地球の半径＝6400000ｍ

空気抵抗＝0.5×抗力係数*×空気密度*×前の速度*×｜前の速度｜×最大断面積*……(3)

抗力係数＝0.03
空気密度＝1.225ｋｇ/ｍ＾3
前の速度＝前の時間(0.05秒前）の速度
最大断面積＝20.43ｍ＾２

空気抵抗による加速度の損失＝(3)÷機体重量-消費燃料（ｋｇ）……(4)

（機体重量-消費燃料）は現在の値を使いましたが、前の時間の値の方がいいですか？

最終的な加速（ｍ/ｓ）＝(1)－(2)－(4)……(5)

速度（ｍ/ｓ）＝前の速度*＋(5)……(6)

前の速度の初期値＝0

高度（ｍ）＝前の高度＋(6)

前の高度の初期値＝0

＜また誤解させそうな書き方をしてしまいました。
「衛星打ち上げクラスのロケットでは空力損失は少ない」
　　↓
「衛星打ち上げクラスのロケットでは全エネルギに対する空力損失の割合は少ない」

　空気の抗力の単位が[N]であることを考えれば、本来なら間違えるはずもないことなのですが……。
　これば、明らかに僕に問題がありました。
　すいませんでした。

回答No.2

Teleskope

(1)式は 真空中における加速度としてならOKです。

(2)式は 真空中/空気中 どっちでもOKです。

(3)式は その式は「ちから」なのです。機体を後ろに押す力。押し合う相手は推力です。
　　空力 = (1/2)・Cd・ρ・(機体断面積)・(2)式の速度^2

空力を考慮するのなら最初の(1)式の段階で推力から差し引きですね。重力加速度も高度の関数です。
　　g(z) = go/(1＋z/6400km)^2

>>　空気密度ρ＝理科年表より高度から決定 <<
>>　高度＝初期高度+速度を足し込み <<

　OKですね。

>>　抵抗係数＝0.0001 <<

　これは前質問のレスを見て勘違いされてることが判りました。「衛星打ち上げのような大型ロケットの空力損失が 数%」 は、ロケットが出す全推進エネルギの数%だ、という意味です。Cd自体が小さいのではありません。（後述）

>>　実際のロケットの抵抗係数はどのくらいの値ですか？ <<

　このへんはぜひ検索してください。知識が増えます。

　↓Cdではありませんが、ロケットの基本の式があります。
http://my.execpc.com/~culp/rockets/RocketEquations.pdf
　↓下の方の付録Ｂに小型ロケットの形状とCdの絵があります。
http://web.syr.edu/~smdemar/rocketdrag.html
　↓商品ですが形や寸法からCdを計算してくれます。
http://www.aerorocket.com/aerodrag.html
　↓11ページの図。形状でほぼ決まりです。
http://www.rockets4schools.org/education/Rocket_Forces.pdf
　↓表題からぶっそうですが、77ページの図。要するにこの程度の値なんです。
http://www.ndu.edu/ctnsp/Nielsen-EDEW.pdf
　↓新型の新幹線のようにとがらせればCdは小さい。空中を高速で飛ぶ地対地ミサイルの姿（だいたいとんがった三角形）のように。しかし衛星打ち上げロケットがそんな形状をしてないのは 空力損失が重大でないからです。
http://pub.nikkan.co.jp/book/kaitai/sinkan/sinkan3.html

　微分方程式の数値積分；
最初は、単純に足し込むのはいいと思います。精度が欲しくなったときにルンゲクッタ法などを採用すればいいですね。（その際むずかしい理論を理解しなくても、使いこなすだけで十分です。）　単純に足し込むときの時間きざみは、もっとずっと小さい方がいいです。1秒きざみはアバウト過ぎと思いますが、プログラムを作って、時間刻みを小さく変えて行って、積分結果がどう変化するかを グラフに書いてみるのをお薦めします、たいへん良い基礎を体験できます。（この辺を体験しておけば数値積分の専門書を読んでも肌で分ります。）

　空力損失について；
力学の基礎のひとつに、
　　エネルギ = 力×距離
というのがありまして、これは習い始める人が皆苦労するところです。ロケットを軌道に乗せるような 「作業 仕事を エネルギで理解」できるようになるには、けっこうな習熟期間がかかるのが普通です。自転車に乗れるまでの練習みたいなものです。　ロケットの空力＝上式の「力」は強大です。液体ロケットがスピードを抑えて上昇するのは推進剤タンクがこの強い力に耐えられる範囲に押さえてるからです。
　で、
星の表面スレスレを周回する衛星の運動エネルギは、星の半径と同じ高さに垂直上昇するエネルギと同じです。もちろん空気抵抗なしの条件です。
　これを利用して「衛星打ち上げクラスのロケットでは空力損失は少ない」ことを（垂直打ち上げのプログラムで）体験できると思います。　地球半径（6400km）を数倍上回る高度に到達する設定にして、空力項をゼロにしたとき高度がどの程度変わるかを見ます。高度と位置エネルギの式はお分かりですよね。
　また、推力の力積（力×噴射時間）を一定にして、噴射時間が長いほど高度が落ちるのも見れます。実際のロケットでは噴射時間は数分ですが、例えばそれを半分にしたら高度変化はどうか、空力と比べてどっちの損失が大きいのか、、、などですね。実は、重力損失が最小な理想は大砲なんです。しかし高速すぎて空力損失が大きすぎなので噴射時間の妥協点（高度が最大になる）があるはずです。その最適噴射時間と実際の液体ロケットの噴射時間を比べてみると、、、

お礼

前回の垂直打ち上げ（今回は高度による重力の変動を考慮しました）の間違った点を訂正しました。
　毎度毎度申し訳ありませんが、計算式が正しいか教えていただけたら助かります。

無修正加速（ｍ/ｓ＾2）＝推力（N)÷｛機体重量－消費燃料（ｋｇ）｝×時間間隔*……(1)

時間間隔＝０．０５ｓ

重力損失ｍ/ｓ＾2＝9.8×{（地球の半径*÷（地球の半径+高度*）}＾２×時間間隔……(2)

*高度＝前の時間(0.05秒前）の高度
地球の半径＝6400000ｍ

空気抵抗＝0.5×抗力係数*×空気密度*×前の速度*×｜前の速度｜×最大断面積*……(3)

抗力係数＝0.03
空気密度＝1.225ｋｇ/ｍ＾3
前の速度＝前の時間(0.05秒前）の速度
最大断面積＝20.43ｍ＾２

空気抵抗による加速度の損失＝(3)÷機体重量-消費燃料（ｋｇ）……(4)

（機体重量-消費燃料）は現在の値を使いましたが、前の時間の値の方がいいですか？

最終的な加速（ｍ/ｓ）＝(1)－(2)－(4)……(5)

速度（ｍ/ｓ）＝前の速度*＋(5)……(6)

前の速度の初期値＝0

高度（ｍ）＝前の高度＋(6)

前の高度の初期値＝0

＜空力を考慮するのなら～
　　g(z) = go/(1＋z/6400km)^2

　今回の計算が概算であっていれば、次は上記のような関数や積分を使ったシュミレーションを作ってみようと思ってます。（今日、微分分積分のやさしそうな参考書を買ってきました）

＜これは前質問のレスを見て～

　勘違いしたと言うよりも、自分の計算間違いを修正するために都合よく回答者様の言葉を解釈した、といったところです。すいませんでした。

＜このへんはぜひ検索してください。知識が増えます

　やっぱり、正直、英語のHPは苦しいです。
科学用語を辞書登録した翻訳ソフトでなんとか対応しようかと考えています。

＜液体ロケットがスピードを抑えて上昇するのは推進剤タンクがこの強い力に耐えられる範囲に押さえてるからです。

　今回製作したシュミレーションで、このことが実感できました（計算数値が合っているかどうかは疑問ですが……）。

＜推力の力積（力×噴射時間）を一定にして～

　実は、物理法則からなぜロケットの考え方を探るのが今回のシュミレーションの目的なんです。
　物理も数学も学生のころは赤点スレスレだったんですが、どうしてもやってみたくなって、無謀にも、今回のシュミレーションに挑むことにしました。

回答No.1

ElectricGamo

空気抵抗は力ですから、加速度の算出の際に空気抵抗を引かなくてはなりません。また地表に近ければ問題ありませんが、高度が高くなると重力も変わるのでそれを考慮しなくてはなりません。それなので

空気抵抗=抵抗係数*1/2*空気密度*速度^2＊最大断面積
加速度=(推力-空気抵抗)/(機体初期質量-消費した燃料)-9.8×(地球半径/(地球半径+高度))^2

また、速度と高度は、それぞれ加速度と速度の積分値として与えられますので、

速度=速度＋加速度×1秒(シミュレーションの時間幅)
ただし、シミュレーションの最初では、速度=初期速度

高度=高度＋速度×1秒(シミュレーションの時間幅)
ただし、シミュレーションの最初では、高度=初期高度

となります。抵抗係数ですが、およそ 0.3 ぐらいでしょうか。

お礼

前回の垂直打ち上げ（今回は高度による重力の変動を考慮しました）の間違った点を訂正しました。
　毎度毎度申し訳ありませんが、計算式が正しいか教えていただけたら助かります。

無修正加速（ｍ/ｓ＾2）＝推力（N)÷｛機体重量－消費燃料（ｋｇ）｝×時間間隔*……(1)

時間間隔＝０．０５ｓ

重力損失ｍ/ｓ＾2＝9.8×{（地球の半径*÷（地球の半径+高度*）}＾２×時間間隔……(2)

*高度＝前の時間(0.05秒前）の高度
地球の半径＝6400000ｍ

空気抵抗＝0.5×抗力係数*×空気密度*×前の速度*×｜前の速度｜×最大断面積*……(3)

抗力係数＝0.03
空気密度＝1.225ｋｇ/ｍ＾3
前の速度＝前の時間(0.05秒前）の速度
最大断面積＝20.43ｍ＾２

空気抵抗による加速度の損失＝(3)÷機体重量-消費燃料（ｋｇ）……(4)

（機体重量-消費燃料）は現在の値を使いましたが、前の時間の値の方がいいですか？

最終的な加速（ｍ/ｓ）＝(1)－(2)－(4)……(5)

速度（ｍ/ｓ）＝前の速度*＋(5)……(6)

前の速度の初期値＝0

高度（ｍ）＝前の高度＋(6)

前の高度の初期値＝0

＜空気抵抗は力ですから、加速度の算出の際に空気抵抗を引かなくてはなりません。また地表に近ければ問題ありませんが、高度が高くなると重力も変わるのでそれを考慮しなくてはなりません。

　単位が違うのに、そのまま加速度（ｍ/ｓ）-（N)してしまいました。
　今回は（空気抵抗÷機体の質量）しましたので単位はあっていると思います。

＜抵抗係数ですが、およそ 0.3 ぐらいでしょうか

　僕の計算式の間違いで空気抵抗が大幅に増大して、抵抗係数0.3ではロケットが上昇しなかったんです。
　そこで、実際のロケットの抵抗係数はモデルロケット（抵抗係数（0.1以上）と比べて大幅に低いとかってに仮定してしまいました。
　きっちり考えれば間違いに気がつく要素になったはずなのにお恥ずかしいかぎりです。