上極限limsup と 極限lim で教えてください．

質問

（仮定）(1)V(T)という関数が下に有界，
　　　　　つまり，αより大きいとします．
　　　　　記号で書くと，V≧α＞－∞
　　　　(2)r > 0　

　　　　です．

そのとき，
　　　　limsup exp(-rT)V(T)≦0　というある
　　　　T→∞
　　　　条件があるとします．

　　　　そももも，
　　　　limexp(-rT)＝0　なので，上極限がマイナス
　　　　T→∞
　　　　になる条件を考えているというのはどうしてでしょうか？
　　　　上極限と普通の極限の計算は違うのでしょうか？

どうぞ，教えてください．

回答No.1

yumisamisiidesu · ベストアンサー

たしかに
v(T)が下に有界ということから
　　　　limsup exp(-rT)V(T)<0
　　　　T→∞
となることは、ないように思います
なぜ、条件としてわざわざ、提示してるのか分りません
他に何か書いてませんか？

>上極限と普通の極限の計算は違うのでしょうか？
にしてもlim<=limsupが成り立つのでおかしいです
ついでに言うと下に有界という条件から
liminf exp(-rT)V(T)<0もありえません.

お礼

いつもお世話になっています．

他に，条件はないですが，
V(T)が下に有界ということは，上は発散する可能性もあるということなのでしょうか？

そうすると，
limsup exp(-rT)V(T)は，0＊∞不定形となるので，
ロピタル定理を適用するのでしょうか？
すなわち，

limsup V(T)/exp(rT)と変形してから，
Tで分母分子を微分すると，
limsup V’(T)/｛ｒ*exp(rT)｝となるのですが，
これが，たとえば，T→∞で，分母が－の符号で，分子が0の極限へと収束すればよいのでしょうか？

つまり，Vが下に有界ということは，
α(最大下限)＜V＜0という状況もあるので，その導関数V'も，マイナスとなる可能性もあれば，いいのでしょうか？

その結果，－∞となりますが．この問題の上極限は，たとえば，-100とかのマイナスの実数値にもなりうるのでしょうか？

また，ｒ＜0であればと考えて，その式が負になることは容易ですが，そもそも，仮定がｒ＞0であるのでダメですね．

長くなってすいません．

補足

追伸です．

V(T)が，T→∞でも，たとえば，ロピタルで考えたように，その導関数V’(T)が，-50と-1の間で，振動していて，収束しないとすれば，上極限と下極限がでてきそうなきがしましたが，

さきほどのロピタルからの変形から，

limsup V’(T)/｛ｒ*exp(rT)｝，条件ｒ＞0

で，分母が0という極限になるため，結局，
上極限も，－∞となるのですが，上極限が－∞でおかしいようにおもえてなりません．

回答No.2

yumisamisiidesu

すいません、また中途半端な回答になりますが

V(T)が下に有界ということは，
+∞に発散する可能性もあるし、下に有界であるような振動をする可能性もあります
また、ロピタルの定理をそのまま使えば負になる場合もありうるという結果が出てしまいそうですが、
まず私がよく分らないのは、limでなく、limsupを求めるのに、ロピタルが使えるのかどうかということです
また、V(T)/exp(rT)の分母・分子をTで微分してもV'(T)がどうなるかは分らないので、結局ロピタルは使えないと思います

とりあえず、飛ばして先に進んでみてもいいのではないでしょうか？

お礼

回答者様，お礼が遅くなりました．

あれから，数学に秀でている方に見ていただけたのですが，結局0になるしかないようで海外の有名な数学関連書だったからだったのですが，そこまで考えてなかったんだろうということでした．

ほんとにいろいろ考えていただきましてありがとうございます．