正解は？

質問

◎水平とθの角をなす斜面上に帆のついたソリをおき、ソリが斜面上にそってすべり落ちる運動を調べる。ソリの質量をM,摩擦係数をμ、重力加速度をgとし、また、帆にはソリの速さに比例する力が速度と逆向きに働くものとして、その比例係数をkとする。このとき、ソリの速度（斜面にそって下向き）がvになったときのソリの加速度をαとして、αとvとの関係式を書け、また、ソリが等速運動をするようになったときの速度を求めよ。（？年度東大）
「（解１）斜面からの垂直抗力をNとして、運動方程式は、
　　　斜面に垂直： ０＝MgcosθーN
　　　斜面に平行： Mα=ｍgsinθ-μNーkv
　これより
　 　α＝g(sinθ-μcosθ)-(ｋ/M)ｖ
ソリが等速運動をするときは、加速度α＝０になるから
v=(M/k)g（sinθ-μcosθ）」
しかし、（解１）は、正解ではなく、
正解は、
（解２）　「　　α＝g(sinθ-cosθ)-(ｋ/M)ｖ
ここでt→∞のとき、α→０、v→v(∞）とおいて
v(∞）=(M/k)g（sinθ-μcosθ）　　　　」です。このところで悩んでいます。
（解２）t→∞で等速運動になるということだから、有限の時間では起こり得ないわけだから、正解は、起こり得ないから、解なしが正解になると思いますが、御指導をお願いします。

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

（解１）で正解であると判断します。もちろん（解２）も正解です。根拠を述べます。
(1)高校の物理では、数学の極限操作を用いない（概念としては実質的に極限を含むが、数式としては登場しない）。
(2)解２を求めているなら、
＞ソリが等速運動をするようになったときの速度を求めよ。
とは出題しない。「時間が経過したときの極限速度を求めよ」などとするはず。

もちろん、点数をどうするのか決めるのは採点者なので、解１を減点にしないとは断言できません。しかし、そういう採点基準を発表したら、批判を受けるはずです。

次に、
＞ソリが等速運動をするようになったときの速度を求めよ。
に対して、「ソリは、有限の時間では等速運動をしない」と答えることが、入試の回答として適切であるとは思えません。
　たとえば、数学の問題で、「xy=1 である。y=0となったときのxを求めよ」であれば、そのようなxはないというのが正解です。しかし、ご質問の問題では、そういう意図の出題ではないと推定されます。なぜなら、この問題で、その種の厳密な数学の論証能力を求めても、無意味だからです。

　だんだん加速度が小さくなっていくと、（ある許容誤差内で）等速運動と区別がつかなくなります。そのような状態になったときの速度を求めよというのが出題の意図と思われます。

　出題の意図をそう理解すれば、（解１）で十分です。（解２）は数学風の表現を振り回した「気どった解答」に思えます。

お礼

わかりました。ご指導ありがとうございました。

回答No.2

First_Noel

＃１です．追記です．

単に，（解１）では時間について一切考慮されていない，と言うだけで，
両者は同じ状態（無限時間経過後の収束状態）を述べているものです．

又，（解１）は「有限時間では到達できない状態」を断りなく記述しているのに対し，
（解２）では，ｔ→∞でのｖの収束状態を記述しているので，
数学的と言いますか物理的と言いますか，では厳密な書き方となります．

他の例）
０＜ｘ＜２とする．
ｘの最大値は？と尋ねられて，
（解１）のような言い方だと「２です」と答える．
（解２）のような言い方だと「上限値（ｓｕｐ）は２です」と答える．

お礼

ご指導ありがとうございました。

回答No.1

First_Noel

＞（解２）t→∞で等速運動になるということだから、＞有限の時間では起こり得ないわけだから、
＞正解は、起こり得ないから、解なしが正解になると思いますが、

「有限時間内で達成せねばならない」と言う制約はないので，
回答者の都合で「解なし」と答えてはいけません．

他にも「十分時間が経過した後」なんて表現もあります．

人間や宇宙の寿命を制約条件に入れない理想的な世界では，
無限の時間が経過した後でも，物体の運動は継続しているのは，
ニュートン力学的に導かれることです．

又は，「十分な時間が経過すると，運動はどのような状態に収束して行くか」と
解釈されても良いかも知れません．

補足

早速ご指導ありがとうございます。＞無限の時間が経過した後でも，物体の運動は継続しているのは，
ニュートン力学的に導かれることです．
よく理解できません。ご指導ください。