僕も不等式の証明

質問

ａもｂも正の整数とする。√2はａ／ｂとａ+2ｂ／ａ+ｂの間にあることを示せ。という問題です。お願いします。

回答No.2

newtype · ベストアンサー

ａ／ｂ＝ｔと置くと問題文は次のように言い換えられる。
ｔを正の有理数とする。√2はｔとｔ+2／ｔ+１の間にあることを示せ。
＜解の方針＞
（１）√２＜ｔならばｔ＋２／ｔ＋１＜√２
（２）０＜ｔ＜√２ならば√２＜ｔ＋２／ｔ＋１
を示すだけ。あとはｔ＝ａ／ｂに戻せばよい。

＜解＞分数関数で考えれば簡単だがここは分母を払おう。
まず（１）を考えよう。
√２＜ｔならばｔ＋２／ｔ＋１＜√２…（１）
⇔√２＜ｔならばｔ＋２＜√２(ｔ＋１)…（１）'(∵√２＜ｔ)であるから(１)'を証明すればよい。
右辺－左辺＝Ｐとすると、
Ｐ＝√２(ｔ＋１)－(ｔ＋２)＝(ｔ＋１)(√２－１)－１＞０（∵√２＜ｔ）
よって、Ｐ＞０より（１）'は成立。よって（１）も成立。

（２）はご自分でおやり下さい。
さて、ｔ＝ａ／ｂとして題意成立。

＜考察＞
大学への数学での解はなんというかへんてこな解ですね。ここで与式が変数ａ／ｂで表わせられることに気づけばもう終わったも同然。普通２変数で表わされる式はなんとか１変数に直して考えるというのが基本です。それができなきゃ順次変化させればよい。東大でも過去にこういう発想が出来ていれば簡単になる問題を出しています。（２）もこの考え方でやるとめちゃ簡単ですよ。

お礼

とても助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

newtype

ａ，ｂがうるさい。そこでａ／ｂ＝ｔとおくと…。

補足

すいません、ｔとおいてもよくわからないのでもう少し詳しく教えてください。