無理数の分布に法則性は見出されているのですか

質問

素数の分布についてもずいぶん研究がされていると聞きますが、無理数の分布についてはどうなのでしょうか。√２や√３と√４や√９の関係などについて初心者にもわかる何かがあるのでしょうか。

回答No.2

taktta · ベストアンサー

実数直線上に有理数が稠密に分布しているように、無理数も稠密に分布していますが。
また無理数は実数：非可算に対して、有理数；可算の補集合ですから非可算ですね。

あなたは、代数的数
代数方程式の根となる代数的数の分布を問題としているのかしら。

回答No.5

Quattro99

有理数a、bの間には必ず有理数(a+b)/2が存在します。これを有理数の緻密性というのだそうです。
無理数はどうかというと、数直線をどこかで切断するとその切り口の両方が有理数ということはあり得ません（そうだとすると、その間に有理数(a+b)/2が存在することになり矛盾するから）。従って、少なくとも片方は無理数ということになります。どこで切断してもそこに無理数が現れることになり、無理数にも緻密性があるということになるらしいです。

参考URL：

http://akademeia.info/main/math_lecturez/math_suutyokusen.htm

お礼

興味深いご教示ありがとうございます。私のつたないイメージでは数直線の上には垂直に微小な穴が無限に空いていて隣に移るのは不可能というような感じです。

回答No.4

yumisamisiidesu

解答になっていないと思いますが．．．
有理数と無理数っていう分け方よりも
代数的数と超越数という分け方の方が私は興味がそそります
なぜかというと有理数は整数係数の一次方程式の解全体の集合に対して、代数的数は任意自然数次方程式の解全体なのでなんか代数的数の方が数学的には、より一般的な対象に思えます

で、有理数全体もそうですが代数的数全体も可算濃度です．
ということは可算集合のルベーク測度は0なので
0から1までの超越数全体のルベーク測度=1です

お礼

ご回答ありがとうございます。自分なりに勉強してみたいと思います。

回答No.1

taktta

実数直線上に有理数が稠密に分布しているように、無理数も稠密に分布していますが。
また無理数は実数：非可算に対して、有理数；可算の補集合ですから非可算ですね。

あなたは、代数的数
代数方程式の根となる代数的数の分布を問題としているのかしら。

回答No.3

taktta

実数直線上に有理数が稠密に分布しているように、無理数も稠密に分布していますが。
また無理数は実数：非可算に対して、有理数；可算の補集合ですから非可算ですね。

あなたは、代数的数
代数方程式の根となる代数的数の分布を問題としているのかしら。

お礼

早速ご教示ありがとうございます。素数のように整数だけ考えた場合には何か離散的な法則があるのかなと考えました。