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外接する図形について
stomachmanの回答
- stomachman
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●式を見れば… x^2, y^2, z^2の項の係数および定数項が正であるということは、この図形が楕円体であり、 x,y,zの項がないのは、楕円体の中心が原点(0,0,0)にあるということです。 だから対称性の高い答が出るだろうことが分かりますね。 ●どうやって円筒を見つけるか 準備として図形の方程式を f=0 f=5x^2+12y^2+z^2+12xy+6yz+4zx-2 と書くことにします。fを円筒座標(r,t,z) ここに x=r cos(t) y=r sin(t) で表すと f=5(r cos(t))^2+12(r sin(t))^2+z^2+12(r^2)cos(t)sin(t)+6rz sin(t)+4rz cos(t)-2 ということになります。 さて、円筒と楕円体の接点では ∂r/∂z = 0 ∂r/∂t = 0 が成り立っている筈です。 そこで、∂f/∂z を計算してみると ∂f/∂z=4rcos(t)+6rsin(t)+2(2zcos(t)+3zsin(t)+(5(cos(t))^2+12(sin(t))^2+12cos(t)sin(t))r)(∂r/∂z)+2z これに∂r/∂z = 0を代入すると ∂f/∂z=4rcos(t)+6rsin(t)+2z さて、f=0より∂f/∂z=0ですから、 円筒と楕円体の接点では z =-r(2cos(t)+3sin(t)) …(1) である。 同様に∂f/∂tを計算して、∂r/∂t = 0を代入すると ∂f/∂t=12(r^2)(cos(t))^2+6rzcos(t)-12(r^2)(sin(t))^2-4rzsin(t)+14(r^2)cos(t)sin(t) を得ます。 ∂f/∂t=0, 及び(1)を代入すると 4(r^2)cos(t)sin(t)=0 …(2) である。 つまり、円筒と楕円体の接点ではr=0かcos(t)=0かsin(t)=0が成り立っている訳です。 r=0ってことはないから、円筒と楕円体は t=0, π/2, π, 3π/2 の4点で接していることが分かります。これをf=0に代入すれば、 t=0の時…z=-2r, r^2=2 t=π/2の時…z=-3r, r^2=2/3 t=πの時…z=2r, r^2=2 t=3π/2の時…z=3r, r^2=2/3 となります。 従って、この楕円体に接する円筒というのはr=√2とr=√(2/3)の二つがある。 ●お化けの検討 なんで２つ出てきたのでしょうか。 外接しているやつ(r=√2)は分かりやすいですけれど、もうひとつお化け(r=√(2/3))が出てきてしまった。このお化けの円筒は、楕円体との接点を通りz軸と平行な平面で切ってみると楕円に接する直線であり、z軸と垂直な平面で切ってみると楕円と変な風に接している、そういう円筒です。 試しにt=π/2（つまりx=0）をf=0に代入してみます（つまりx=0の平面で切ってみる）と、お化けの円筒の断面は２本の直線y=±√(2/3)です。楕円体の断面は楕円になるわけで、その方程式は 12y^2+z^2+6yz-2=0 です。これはz=±√6において|y|が最大（y=±√(2/3)）になる楕円です。グラフを描くと良くわかります。 実際、これをzの２次方程式とみなしたとき、実解があるための条件、つまり判別式は 9y^2-(12y^2-2) ≧ 0 …(3) そして 9y^2-(12y^2-2)=0 の解は y=±√(2/3) であり、(3)が成り立つのは-√(2/3)≦y≦√(2/3)のときですね。この楕円は原点(0,0)から高々√(2/3)しか離れない。そして、２本の直線y=±√(2/3)はこの楕円に接しています。 今度はz=-√6をf=0に代入してみますと、お化けの円筒の断面は半径r=√(2/3)の円、楕円体の断面は楕円で、 5x^2+12y^2+12xy-(6√6)y-(4√6)x+4=0 です。この楕円は半径r=√(2/3)の円とx=0において接していて、あと２箇所で交差しています。 これは是非グラフを描いて検討してみることをお勧めします。
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お礼
丁寧な回答ありがとうございます。 rの吟味は大変よくわかりました。 しかし、１点だけどうしてもわかりません。 ∂r/∂z = 0 ∂r/∂t = 0 はなぜ成り立つのでしょうか？ 私にとっては明らかではないのでぜひ解説をお願いします。