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外接する図形について
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No.2について > ∂r/∂z = 0 > ∂r/∂t = 0 > はなぜ成り立つのでしょうか？ 曲線y=x^2 と直線y=0の接点ではdy/dx=0が成り立っている。 という事情をもしご理解なさっているのなら、以下の説明でおかわり戴けるかと思います。 ∂r/∂z = 0 ：接点からz軸と平行に微少量dzだけ動いても、rは変化しない。 接点を含みz軸と平行な平面で切った断面で見ています。 断面では円筒はz軸に平行な直線、楕円体は楕円になっていて、接点で接している。横軸にz、縦軸にrを取ったグラフを考えればお分かりになるでしょう。 ∂r/∂t = 0 ：接点から角度tを微少量dtだけ動かしても、rは変化しない。 今度は、接点を含みz軸と垂直な平面で切った断面で見ています。断面では円筒は原点を中心とする円、楕円体は楕円です。 さらにそれを極座標で表している。そこで横軸t 縦軸r の直交座標系でグラフを描いてみると、原点を中心とする円というのはr=一定(tによらない訳)ですからt軸と平行な直線、楕円の方はなんかへんてこな曲線になり、接点で接している。 なお、ご質問の図形をExcelなどで描いてみることをお勧めします。 zを固定して、xとyの式だと思って、yについて解き、xを変えてyを計算させる。その表をグラフに描かせます。 zの値を変えるとグラフも変化する。これを眺めればどんな形だか見当がつくでしょう。
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- shroeder
- ベストアンサー率44% (4/9)
与えられた方程式で、x,yを定数と考えて、ｚの２次方程式と 見なすことができます。 これが実数解をもつための条件：判別式＞＝０を 書くと -x^2-3y^2+2 >=0 となって、これがxy平面にできた”影”の範囲です。 これは楕円の内部で、 半径√２の円柱が外接する円柱です。 3変数の2次の同次式がどのような立体になるかは、xyとかyzとかの 項があるときには、パット見てわかる方法はありません。 対称行列の対角化とか固有値とか勉強して下さい。 線形代数の本の最後のあたりに分類と図がのっている筈です。
お礼
xy平面に図形を正射影するんですね。 この解答はとてもわかりやすいです。 2次形式についてもう少し勉強します。 ありがとうございました。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
●式を見れば… x^2, y^2, z^2の項の係数および定数項が正であるということは、この図形が楕円体であり、 x,y,zの項がないのは、楕円体の中心が原点(0,0,0)にあるということです。 だから対称性の高い答が出るだろうことが分かりますね。 ●どうやって円筒を見つけるか 準備として図形の方程式を f=0 f=5x^2+12y^2+z^2+12xy+6yz+4zx-2 と書くことにします。fを円筒座標(r,t,z) ここに x=r cos(t) y=r sin(t) で表すと f=5(r cos(t))^2+12(r sin(t))^2+z^2+12(r^2)cos(t)sin(t)+6rz sin(t)+4rz cos(t)-2 ということになります。 さて、円筒と楕円体の接点では ∂r/∂z = 0 ∂r/∂t = 0 が成り立っている筈です。 そこで、∂f/∂z を計算してみると ∂f/∂z=4rcos(t)+6rsin(t)+2(2zcos(t)+3zsin(t)+(5(cos(t))^2+12(sin(t))^2+12cos(t)sin(t))r)(∂r/∂z)+2z これに∂r/∂z = 0を代入すると ∂f/∂z=4rcos(t)+6rsin(t)+2z さて、f=0より∂f/∂z=0ですから、 円筒と楕円体の接点では z =-r(2cos(t)+3sin(t)) …(1) である。 同様に∂f/∂tを計算して、∂r/∂t = 0を代入すると ∂f/∂t=12(r^2)(cos(t))^2+6rzcos(t)-12(r^2)(sin(t))^2-4rzsin(t)+14(r^2)cos(t)sin(t) を得ます。 ∂f/∂t=0, 及び(1)を代入すると 4(r^2)cos(t)sin(t)=0 …(2) である。 つまり、円筒と楕円体の接点ではr=0かcos(t)=0かsin(t)=0が成り立っている訳です。 r=0ってことはないから、円筒と楕円体は t=0, π/2, π, 3π/2 の4点で接していることが分かります。これをf=0に代入すれば、 t=0の時…z=-2r, r^2=2 t=π/2の時…z=-3r, r^2=2/3 t=πの時…z=2r, r^2=2 t=3π/2の時…z=3r, r^2=2/3 となります。 従って、この楕円体に接する円筒というのはr=√2とr=√(2/3)の二つがある。 ●お化けの検討 なんで２つ出てきたのでしょうか。 外接しているやつ(r=√2)は分かりやすいですけれど、もうひとつお化け(r=√(2/3))が出てきてしまった。このお化けの円筒は、楕円体との接点を通りz軸と平行な平面で切ってみると楕円に接する直線であり、z軸と垂直な平面で切ってみると楕円と変な風に接している、そういう円筒です。 試しにt=π/2（つまりx=0）をf=0に代入してみます（つまりx=0の平面で切ってみる）と、お化けの円筒の断面は２本の直線y=±√(2/3)です。楕円体の断面は楕円になるわけで、その方程式は 12y^2+z^2+6yz-2=0 です。これはz=±√6において|y|が最大（y=±√(2/3)）になる楕円です。グラフを描くと良くわかります。 実際、これをzの２次方程式とみなしたとき、実解があるための条件、つまり判別式は 9y^2-(12y^2-2) ≧ 0 …(3) そして 9y^2-(12y^2-2)=0 の解は y=±√(2/3) であり、(3)が成り立つのは-√(2/3)≦y≦√(2/3)のときですね。この楕円は原点(0,0)から高々√(2/3)しか離れない。そして、２本の直線y=±√(2/3)はこの楕円に接しています。 今度はz=-√6をf=0に代入してみますと、お化けの円筒の断面は半径r=√(2/3)の円、楕円体の断面は楕円で、 5x^2+12y^2+12xy-(6√6)y-(4√6)x+4=0 です。この楕円は半径r=√(2/3)の円とx=0において接していて、あと２箇所で交差しています。 これは是非グラフを描いて検討してみることをお勧めします。
お礼
丁寧な回答ありがとうございます。 rの吟味は大変よくわかりました。 しかし、１点だけどうしてもわかりません。 ∂r/∂z = 0 ∂r/∂t = 0 はなぜ成り立つのでしょうか？ 私にとっては明らかではないのでぜひ解説をお願いします。
- newtype
- ベストアンサー率29% (14/47)
まだ誰も回答していないので、わかった所だけ書きます。 質問の一つである図形の形を教えてくれということですが、これは簡単でした。 私は凡庸な予備校講師では導き出さない公式を使って解きました。この式自体は簡単なのですが、導くのにちょとした労力を要するので、明日元気なときに書きます。公式だけを教えるのは、私の主義に反しますから。 ＜解＞ まずｚ＝ｋ（ｋ∈図形の存在領域のz方向）で固定して（問題の図形をｚ＝ｋの平面で切る）、その断面がどのようなシェイプか調べる。 調べた結果、切り口はｋに関係なく「楕円」であることがわかった。 また同様にｘ、ｙで固定したときも、「楕円」になった。 よって、どの方向から見ても楕円なので、図形は楕円球（ラグビーボール）である。 まだ試していませんが、ひょっとすると、円柱座標を使うと円筒の半径を求められるかもしれません。 理由は円筒だからです。（ちなみにここは笑うところです。笑ってますか？） あるいはｚの存在条件から考えるとか。まあいろいろ試せますね。
お礼
回答ありがとうございます。 私も図形をいろいろな面で切って考えてみました。 確かにどこでも楕円になりました。 でも、具体的にどんな楕円体か（中心の座標や、長径の方向、長さなど）わかりません。 そこまで調べる必要がないかもしれませんが、イメージをつかめないと問題が解けそうにありません。 しかし、図形を知る手がかりを教えてもらったのでよかったです。 ありがとうございました。
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お礼
なるほど、よくわかりました。ありがとうございます。