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オイラーの公式と微積分の関係

sinとcosは微積分において,ちょうどガウス座標での回転に一致しているそうですが,このこととオイラーの公式とはどのようにつながっているのでしょうか。sin をiとおくかcosをiと置くのかわかりませんが、不思議な感じがします。]

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すみません, > (sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=sin(x) -- (*)となる. は (sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=-sin(x) -- (*)となる と訂正します.

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  • 回答No.1

オイラーの公式 e^{ix} = cos(x) + i sin(x) の両辺をxで微分すると, 左辺の微分=ie^{ix}=-sin(x)+i cos(x) 右辺の微分=(cos(x))' + i (sin(x))' よってsin,cosの微分は (sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=sin(x) -- (*)となる. 左辺の微分は指数関数の微分で,指数関数の肩に ixがのっているため,このiが外に出てi倍になる, つまりgauss座標での回転になるというわけです. 上の計算より, オイラーの公式と指数関数の微分を知ってさえ いれば(*)という面倒な式を忘れてしまっても いいということになりました. オイラーの公式とは,三角関数というやや面倒な ものを指数関数という形式的にはよりわかりやすい もの(但し肩にのる数は複素数になるが)に置き換え られる,という便利な式であります.

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質問者からのお礼

御懇切なご説明をどうもありがとうございます。勉強に際し,大切に参考にさせて頂きます。

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