直線の通過範囲について

質問

直線の通過範囲についての問題です。「実数tによって定まる２点P(0,-t) , Q(t , t^2 - t)がある。tがすべての正の実数を動くとき線分PQが通過する範囲を図示せよ。」
という問題についてなのですが、一行目に「実数t」という表現があるにもかかわらす、「tがすべての正の字数を動く」とはどういうことでしょうか。おかしくないでしょうか。「実数」と「正の実数」では明らかにイコールではないですよね。どう考えればよいのでしょうか。

回答No.3

Umada · ベストアンサー

この問題は
「tは別にどんな実数値をとっても構わないのだが、tの変域を正の数に限ったら、題意の線分はどのような範囲を動きうるか」と解釈すべきでしょう。

例えば
「自然数nに対して2nを対応させる決まりf(n)を考える。nが「2,3,4,5」のいずれかの値を取る時、f(n)の取りうる値は何と何があるか」
という問題を考えてみれば分かると思います。この問題の答えは「4,6,8,10」であって、「総ての偶数」ではないはずです。

お礼

どうもお返事ありがとうございます。実例で御説明してくださって、深く理解できました。再び問題文を見直してみると、仰るように考えられました。なぜ、気づかなかったのかというと、多分少し見慣れていなかったんだと思います。

回答No.8

newtype

どうやら方程式は合っているようです。さて解説しましょう。
「直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2，－ｔ）＝０ 」
なぜこれが求める式になるのかわからないのか。

一般に直線Ｌ：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の法線ベクトルは、Ｐ＝（ａ，ｂ）である。
＜証明＞
与式⇔ｂｙ＝－ａｘ－ｃ
ｂ＝０のときは自明。
ｂ≠０のとき、両辺をｂで割って、
ｙ＝（－ａ／ｂ）ｘ＋（－ｃ／ｂ）
このとき、直線Ｌの方向ベクトルＱ＝（－ｂ，ａ）＝（ｂ，－ａ）（∵傾きを考えよ）
よって、（ａ，ｂ）・（－ｂ，ａ）＝（ａ，ｂ）・（ｂ，－ａ）＝０なので、
直線Ｌの法線ベクトルはＰ＝（ａ，ｂ）（∵あるベクトルとあるベクトルが垂直⇔内積＝０）

＜考察＞直線の方程式を求めるには、次のようにすればよい。
その直線上の点（ｘ，ｙ）とし、その直線上のわかっている点を（ｐ，ｑ）とすれば、
直線の方向ベクトルＬ＝（ｘ－ｐ，ｙ－ｑ）である。
よって法線ベクトルｍ＝（ａ，ｂ）と垂直より、
（ａ，ｂ）・（ｘ－ｐ，ｙ－ｑ）＝０（もうわかっていると思うが、この場合・は内積を表わしている）
⇔ａｘ＋ｂｙ－ａｐ－ｂｑ＝０
⇔ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０（ｃ＝－ａｐ－ｂｑ）
とこのように簡単に出来る。

さてこれでご質問は簡単に理解できるだろう。ご自分でお考え下さい。

＞回転曲線群と回転直線がどのような物なのかわからないので、お教えいただけますでしょうか。何度もすいません。
私の間違いです。
回転曲線群ではなく、「回転直線群」と、次に回転直線ではなく「回転直線群」と直してください。

ところで解答は合っているでしょうか。実は疲れてたので見直してないんですよね。

お礼

お返事どうもありがとうございます。ご説明していただいたおかげで、やっとわかりました。ありがとうございました。

＞求める領域は（過程省略）
１＜ｘ，０≦ｙのとき、０≦ｘ^2－ｘ≦ｙ
ｘ＜１，ｙ≦０のとき、ｙ≦ｘ^2－ｘ≦０
但し点（１、０）はこれに含まれる。
以上これでどうだ。

解答の方なのですが、図を見てみると、「ｘ＜１，ｙ≦０のとき、ｙ≦ｘ^2－ｘ≦０ 」→「0≦ｘ＜１，ｙ≦０のとき、ｙ≦ｘ^2－ｘ≦０ 」です。Q(0,-t)なので。
お返事ありがとうございました。

回答No.7

newtype

ああやっちまった。計算間違いです。

→ＰＱ＝（ｔ，ｔ^2）∴→ＰＱの法線ベクトル＝（ｔ^2，－ｔ）
直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2，－ｔ）＝０
⇔（ｔ^2）ｘ－ｔ（ｙ＋ｔ）＝０
⇔（ｔ^2）ｘ－ｔｙ－ｔ^2＝０…☆
を実数ｔとしてまず解いてみよう。
＜解＞
ｔ≠０のとき、☆式はｔで割って、ｔｘ－ｙ－ｔ＝０…☆この式をｔについて整理すると、
ｔ（ｘ－１）－ｙ＝０
これは直線ｘ＝１，ｙ＝０の交点を通る回転曲線群である。
但し、ｔがどの値をとっても点（１，０）以外の直線ｘ－１＝０は成り立たない。
ｔ＝０のときを考えると点（０、０）のとき成り立ちこれは 上記の回転直線に含まれる。
よって、答えは
「ｘ、ｙ平面上のすべての領域を点（１．０）以外の直線ｘ＝１を除いて塗りつぶせばよい。」

さて上の解はｔに制限をつけない場合である。
私は多くの問題を自然に式の値を求めるのが好きなんだがこの場合は無理だ。
そこで逆の対応の概念でやると、（s-wordさんがやっているのは普通に代入するやり方）

求める領域は（過程省略）
１＜ｘ，０≦ｙのとき、０≦ｘ^2－ｘ≦ｙ
ｘ＜１，ｙ≦０のとき、ｙ≦ｘ^2－ｘ≦０
但し点（１、０）はこれに含まれる。

以上これでどうだ。

お礼

お返事どうもありがとうございます。

＞→ＰＱ＝（ｔ，ｔ^2）∴→ＰＱの法線ベクトル＝（ｔ^2，－ｔ）
直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2，－ｔ）＝０
⇔（ｔ^2）ｘ－ｔ（ｙ＋ｔ）＝０
⇔（ｔ^2）ｘ－ｔｙ－ｔ^2＝０…☆
を実数ｔとしてまず解いてみよう。

すいません、この部分がよくわからないのですが。まず法線ベクトルの決め方なのですが、これは無数にあるので一例を決めればよいのですよね。そこで、しての式なのですが、

「直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2，－ｔ）＝０ 」
この（ｘ，ｙ＋ｔ）は何を表しているのかよくわかりません。それと、（ｘ，ｙ＋ｔ）とPQの法線ベクトルを掛けることで、なぜ、直線ＰＱの方程式になるのかがわかりません。それと、回転曲線群と回転直線がどのような物なのかわからないので、お教えいただけますでしょうか。何度もすいません。

回答No.6

newtype

＜訂正＞
線分という条件を忘れていました。
ｔで場合分けをしないといけませんね。

０≦ｔのとき、
０≦ｘ≦ｔ，－ｔ≦ｙ≦ｔ^2－ｔ

ｔ＜０のとき、
ｔ≦ｘ≦０，－ｔ≦ｙ≦ｔ^2－ｔ
ですね。
さて考えますか。しかし本当に直線ではなく線分ですか？
まだやっていませんが、かなり面倒だと思いますよ。だからｔ≧０に限定したのかなあ。

補足

お返事どうもありがとうございました。解答とは、違うやり方をされているようです。すいません、newtype様がやっていらっしゃることが私はよくわからないのですが。
解答では、直線PQの式を２点P,Qから、y=t(x-1) とだし、
t>0 に注意して、まず図示してから、線分を考えるために、Qのパラメーターから、座標表示になおして２次関数
y=x^2 - x を図示し、それと、点P(0,-t)を少しずつ、
t=1,2,3,・・・・・と結んでいくと、領域がができあがるようです。そのときに、どの線分PQも(1,0)を通るようになっています。線分ですから、全部の線分が、(1,0)を通るわけではなく、Qのx座標が、1より小さいときは、延長すると通るようになっている図です。こんな作図の仕方もあるんですね。ちょびちょび動かしてどんな感じか、探るっていう類の。式で決まるものだとばかり思っていましたが。

回答No.5

newtype

→ＰＱ＝（ｔ，ｔ^2－２ｔ）∴→ＰＱの法線ベクトル＝（ｔ^2－２ｔ，－ｔ）
直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2－２ｔ，－ｔ）＝０
⇔（ｔ^2－２ｔ）ｘ－ｔ（ｙ＋ｔ）＝０
⇔（ｔ^2－２ｔ）ｘ－ｔｙ－ｔ^2＝０…☆
を実数ｔとしてまず解いてみよう。
＜解＞
ｔ≠０のとき、☆式はｔで割って、（ｔ－２）ｘ－ｙ－ｔ＝０…☆この式をｔについて整理すると、
ｔ（ｘ－１）－２ｘ－ｙ＝０
これは直線ｘ＝１，－ｙ＝２ｘの交点を通る回転曲線群である。
但し、直線ｘ＝１のときを除く。（理由わかるね？）
ｔ＝０のときも点（１、－２）のときを除けば成り立つ。
よって、答えは
「ｘ、ｙ平面上のすべての領域を直線ｘ＝１を除いて塗りつぶせばよい。」

＜考察＞この問題を作った人は「答えがあまりにもセンスが感じられない」と編集者から文句をいわれ、仕事を干されるてはたまらんと脅えてあわてて問題を作り変えた。だから最初から「ｔがすべての実数のとき」と書かなかったのでしょう。
なさけない話です。
「これは直線ｘ＝１，－ｙ＝２ｘの交点を通る回転曲線群である。」
と書きましたがこの交点を包絡点といいます。

ｘやｙの係数にどうしてもｔ^2やｔ^3や√（t^2＋１）などがついた場合はこのような解き方はできません。その場合、求める領域は直線がある曲線に接することを用いてその曲線を求め、ｘ＝f(ｔ)あるいはｙ＝g(t)で接することを利用し、領域を図示する。ある曲線のことを包絡線といい、さっきの包絡点の２次元版です。

回答No.4

million-show

実数　と　正の実数　はイコールではないですね。

でも問題はおかしくはありませんよ。

例えば　
実数ｔによって定まる　t^２＋ｔ－６＝０
のｔが正の場合をグラフに図示せよ
という問題はみかけたことはありませんか？

実際にＰとＱをグラフに書いてみましたか？
ｔが負の時については、正がわかればどうでもいいことだと
気が付くと思います。
出題者の意図を読むのも面白いですよね。

ただ、ＰとＱはｔが虚数ということはありえない
ということを言いたいだけなのでは？

お礼

＞例えば　
実数ｔによって定まる　t^２＋ｔ－６＝０
のｔが正の場合をグラフに図示せよ
という問題はみかけたことはありませんか？

なるほど、その場合と一緒に考えるんでねすね。確かに問題文はどこもおかしくないように見えてきました。

＞実際にＰとＱをグラフに書いてみましたか？
ｔが負の時については、正がわかればどうでもいいことだと気が付くと思います。

定点(1 , 0)を通る直線群ですよね。それが、tの傾きにきまるという。なるほど、定点を出せば、あとは別にtが負の数をとろうと考えなくてよく、あとは線分の話に移項すればよいのですね。ありがとうございました。

回答No.2

redbean

問題の文章は特におかしくはありません。
単に、tが負の実数を動くときの範囲は図示しないで
ください、と言っているだけですよ。

お礼

ご回答してくださってどうもありがとうございます。そういうことだったのですね。問題の意図をくみ取れませんでした。冷静になって考えれば確かにそう読めました。ありがとうございました。

回答No.1

wogota

多分、問題製作者が、色々と問題文を考えて書き直したりしているうちに、
前後の整合性が保てなくなったということですね。

もしこれが試験中に出題されていれば、質問することではっきりさせることが
出来ますね。

こういう問題が出されたら、いったん、実数上の範囲での答えを求めるほうが
いいかもしれません。

お礼

お返事ありがとうございます。はじめこの問題を見たときは、面くらってしまいました。きっちり読まなかったので少し混乱してしまいました。