V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a
V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|
次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、
という問題で答えは
|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。
この問題の途中で、これ以上積分が出来そうにない部分が出てきますので、どうか助けてください。自分のやったところまで書きますと
|V| = 2*2*∫[0,b] dx 2*∫[0,√(b^2 - x^2)] √(a^2 - x^2 - y^2) dy
= 8*∫[0,b] [(1/2){y√(a^2 - x^2 - y^2) + (a^2 - x^2) arcsin(y√(a^2 - x^2))}]_[0,√(b^2 - x^2)]
= 4*∫[0,b] √(b^2 - x^2)√(a^2 - b^2) + (a^2 - x^2) arcsin{√(b^2 - x^2)/√(a^2 - x^2)} dx
…ここが、「これ以上積分が出来そうにない部分」です（実際、計算機でもこれ以上は計算してくれません）。
ただ、本に載っている例の値 a=1, b=1/2 を入力すると 1.46809 という答えになり、本の答え (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}) に a=1, b=1/2 を入力した場合とまったく同じ答えになります。
さて、手計算で (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}) を求めるにはどうすればよいのでしょうか？
お礼
ありがとうございます。理解できました。