発振回路の『正弦波』出力について

質問

とても困っているので質問させていただきます。
　RC発振回路を作成して低周波正弦波を出力させる、というものなのですが、『なぜ正弦波が出力されるのか』が分かりません。

　RC発振回路を載せているいくつかの本やWebサイトに当たった所、発振の振幅条件や発振周波数決定の周波数条件については書かれており理解できたのですが、肝心の『なぜ正弦波出力になるのか』が分かりません。
　例えば回路に電源を入れた際の過渡現象などによるゆらぎが、発振に成長すると思うんですが、そのゆらぎがどう変化して正弦波に整えられるのか、その過程が知りたいのです(参考書などではいきなり正弦波グラフが描かれてたりして、それについて全く解答が無い)。
　なお、実際には当方は、増幅器にはトランジスタを用いた反転増幅器、位相器にはCRハイパスフィルタ3段で180度位相を変える進相型を用いています。

　詳細な式や文献、Webサイト、論文等でも良いですので、教えていただければ幸いです。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

高調波とフーリエ級数について学習されると、nobuchomさんの疑問はおのずと解けるものと思います。

まず高調波ですが、周波数fの振動(正弦波)に対し、周波数2f、3f、4f・・・の振動(これまた正弦波)を高調波と呼びます。周波数が整数倍でないものは高調波と呼びません。

正弦波以外でも、周期が1/fである振動は全て基本波(周波数fの正弦波)と高調波の重ね合わせで表現できます。
例えばパルス波は
sin(2πft)+1/3・sin(6πft)+1/5・sin(10πft)+・・・+1/(2n+1)・sin((2n+1)πft)・・・
なる無限級数で表されます(フーリエ級数)。
第1項のみ取れば正弦波になります。第2項目以降はすべて高調波です。
世の中の振動・発振には完璧な正弦波というものはなく、パルス波に限らず必ず僅かの高調波を含んでいます。

ymmasayanさんの回答にもありますように移相器あるいは同調回路を通して帰還すると、基本波の成分のみが高調波の成分よりはるかに強く出てきます。仮に発振回路に最初にパルス波を放り込んだところで、高調波成分はすぐに減衰してしまい基本波だけが生き残るのです。

なお基本波しか帰還しなくても増幅回路の非線形性により高調波は自然と出力に現れます。増幅器の非線形性を強めにして故意に高調波を発生させ、それを同調回路でよりわけて取り出す「オーバートーン」という方法もよく使われています。(この場合も、帰還させるのは基本波のみです)

補足

えっと、皆さんの意見から自分なりに考えた事をまとめてみました

・雑音が発生して、色んなの周波数の波が出る。
・位相器を通る際に「位相器の周波数条件を満たした」「基本波」のみが無事位相器を通り抜ける事ができて増幅される。「周波数条件を満たしてない」波は殺され、「高調波」は思い切り振幅を減らされる(弱められてしまう)
・結果「周波数条件を満たした基本波のみ」が出力されているように「見える」が、実際には高調波も微量に含んでいる。
・高調波には基本波を打ち消すほどの振幅を持たないのでオシロで観測すると、あたかも基本波のみが取り出せているように「見える」

　こんな感じでしょうか……。

　フーリエやラプラスは知識があったんですが、こういう所でフーリエが出てくるんですか……。あのオーディオのグニャグニャしたレベルバーくらいの知識しかありませんでした……(笑)。もっと色々学ばないと！

回答No.4

Umada

まず、私の回答の補足から。
(1)ymmasayanさんが指摘下さったように、私の回答ではフーリエ級数分解で直流分の存在を忘れていました。お恥ずかしいです、申し訳ありません。(直流分はここでの話にはあまり関係しないですが・・・というのは負け惜しみ!?)

(2)私の書いた「パルス波」のフーリエ級数展開ですが、
一般項は　1/(2n+1)・sin(2π(2n+1)ft)　が正しいものでした(n=0,1,2,・・・)。訂正します。
もちろんcosを使っても表現できますし、exp(i・2πft)のような形で書くこともできます。(iは虚数単位)
またこのパルス波はむしろ矩形波と表現した方が適切でしたね。言うまでもなく上下対称の波形で、半サイクルで正の値を取り残りの半サイクルで負の値になる波です。

(3)ymmasayanさんの指摘にもありましたようにオーバートーン発振の話はあくまで余談です。今回の議論の中での本筋ではありませんからとりあえず無視して頂いて結構です。
本題の発振に関しては「(増幅器からの出力に)高調波は含まれてはいるが、移相器や同調回路で選り分けられてしまうために発振条件を満たせない」「そのため、基本波だけが抜きんでて大きく現れる」という理解で良いと思います。

(4)スレッドの転載に関してです。
このページの規約に、OK Web／教えて!gooの情報を無断で他のページに編集・転載してはならないとあります。ですから本スレッドの内容をそのまま転載されるならそこからの許可を取る必要があります。(逆に言えば私には許諾権限がないのです)
私自身は著作権を云々するほど大した回答は書いておらず、また規約上も回答者から許可は取る必要はないのですが、わざわざ確認して下さったのであれば恐縮です。事務局からOKが出たのであれば使って頂いて構いません。

補足

スレッドの転載に関しましては、Gooの会社に著作権が帰属してしまっているので、駄目だそうです。
　自分でまとめ直したものを、自分のサイトに記載したいと思います……。
　＃皆さんとの問答も、とても有意義なものだと思ったのですが、残念です。

　Umadaさん、ymmasayanさん、ありがとうございました。
　この辺でスレッドを打ち切らせていただきます。

回答No.3

ymmasayan

補足にお答えします。

＞　波は全て正弦波(言い換えればEのj×角度乗で表せる形の波、オイラーで書き表せる波と言っても良い？)で出来ていて、それを高調波と呼ぶ。

違います。高調波という言葉が出てくるのは、同じ波形を規則正しく繰り返す、「繰り返し波形」の場合です。
単に波と言うことから言えば直流から始まって、無限の周波数まで沢山の波が混じっています。この波は全て正弦波の集まりとして表現できるのです。説明が短絡的で、いきなり高調波に行ってしまいましたので誤解を受けたようです。

＞　疑問としては、なんでパルス波とかじゃなく、『正弦波』なのか、という所にあるので……。

私の説明では、繰り返し波形と高調波の関係の部分をはしょっていましたが、No.2のUmadaさんがフォローして下さいましたので、既にお分かりになったと思います。

同じ波形を繰り返す波（上下非対称も可）の場合、その繰り返し周波数を基本波周波数と言います。繰り返し波形をフーリエ展開すると
（１）直流分
（２）基本波周波数の正弦波
（３）高調波（基本波の２，３，４，５，６、・・・倍の周波数の正弦波）
に分解されます。
余談ですが、上下対象の場合、偶数次（偶数倍）高調波は存在しません。

この（１）（２）（３）の部分がなかなかピンとこないのですね。私が長いあいだ悩んだのはここでした。フーリエ展開で納得できても実際の波と実感として結びつかないのです。今でも、無理矢理、自分を納得させています。（肌に合いません）

この部分を信じて頂けば、後は　nobuchomさんの理解されている通りでいいかと思います。

次に、発振の過程を整理します。発振条件を満たす基本波周波数の波（正弦波ではない）だけが残ったとします。下に書いている通り基本波＋高調波に分解され、高調波が減衰して基本波のみが残るのです。矩形波の繰り返しパルスも（信じられないことに）チャンと直流と正弦波の集合に分解されます。

きれいな正弦波も歪を受けるとすぐに高調波を含んでしまいます。だから発振出力に高調波が混じる話及びオーバートーン発振の話は取りあえず本題と切り離して考えたほうがいいと思います。

補足

周期性のある関数はその周期内で有界で滑らかで積分可能であればフーリエ変換できる、ということからですね(フーリエ変換は上下対称非対称関係ないですね)。
　そして高調波が位相器によってカットされてしまい(180度位相が変更されないので位相条件を満たさない、でいいですか？)、直流(今の場合はバイアスに値する)と基本波の足しあわされた波が増幅器に流れ込む、と。
　あとは結合コンデンサなりでカットしてあげて基本波出力の出来上がり、ということですかね？

　ということは、発振の「タネ」である過渡現象などによる「ゆらぎ」で、偶然に「発振周波数を基本周波数とする波(ただし振幅や上下対象非対称に関係ない)」が発生しない事には、発振は起こらない、という事になるのでしょうか。
　「ゆらぎ」ではありとあらゆる周波数の波が発生するので、とんでもなく非常に高い確率でその「タネ」が現れるので何回やっても発振が起こる、というのが僕の考えなのですが……。

　このスレッド、とてもためになるので、自分のホームページに転載しても構わないでしょうか？
　多分同じような悩みを持つ工学部生や高専生が日本にごまんといるでしょうし……。

回答No.1

ymmasayan

私も長いこと同じ疑問で悩みました。

結論としては、
（１）正弦波が最もポピュラーだから。
（２）正弦波を発振させるお膳立てをしているから。
と言うことです。理由は次の通りです。
（１）正弦波以外の波は１０００Ｈｚであっても、無数の高調波（全て正弦波です）を含んでいます。
　　　だから、その中では１０００Ｈｚの正弦波だけがポピュラー（正統派）なのです。
（２）移相器（位相器？）で１８０度反転と書いてありますが、これはつまり目的の周波数（ここでは１０００Ｈｚ）だけに関する１８０度です。他の高調波については１８０度とならず移相器で邪魔されて発振条件が整わないのです。

結局、わずかな雑音からスタートした１０００Ｈｚの正弦波成分だけが市民権を得て大威張りで発振を続けると言うわけです。

高周波回路では寄生発振などを防ぐため、移相器でなく、同調回路を用います。

補足

質問させてください。

つまり、
・波は全て正弦波(言い換えればEのj×角度乗で表せる形の波、オイラーで書き表せる波と言っても良い？)で出来ていて、それを高調波と呼ぶ(高調波に関しては、名前は聞いたことはありました)。
・位相器による周波数条件で、その条件を満たさない他の全ての周波数の高調波が殺されて、条件を満たしている周波数の高調波だけが生き残り、出力として出てくる。
・よって周波数条件を満たしている『正弦波』が取り出せる

ということでしょうか。

　疑問としては、なんでパルス波とかじゃなく、『正弦波』なのか、という所にあるので……。お教え頂ければ幸いです。