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素数の問題です

shushouの回答

  • shushou
  • ベストアンサー率51% (16/31)
回答No.8

1でも素数でもない自然数のことを合成数といいます。 素数と合成数の最大の違いは何だか分かりますか。 1ではない自然数を2つの自然数の積に書いたとき (つまり、12=2×6とか17=1×17とか) 素数はどちらか一方が1に必ずなります。 合成数はどちらも1以外にすることが必ずできます。 たとえば合成数は 24=4×6、34=2×17、 のように1を含まないように書けるのに対して 素数は、3=1×3、19=1×19 というように必ず1を含みますね。 だから、 合成数=(1より大きい自然数)×(1より大きい自然数) と書けます。 さて、s-wordさんの >当然k , l が1のときも考えないといけないと思うのですが という疑問について。 このような疑問が浮かぶのは(とても素晴らしいことです) 解答に不備があるからです。 解答の ”nが素数でないとすると、n = kl (k,l は1より大きい自然数)とおけて” の部分を次のように直しましょう。 ”nが1でも素数でもないとすると、n = kl (k,l は1より大きい自然数)とおけて” nが1でも素数でもないとするとnは合成数となりますから これなら納得できるのではないでしょうか。 そして解答を次のようにします。 「n=1のとき 2^n-1=2-1=1 となって素数でないから矛盾。 nが1でも素数でもないとすると、n = kl (k,l は1より大きい自然数)とおけて ・・・・・・(以下同じ)」 n = kl (k,l は1より大きい自然数)とおくと n=1の場合がぬけてしまうので n=1の場合は実際に代入して調べてしまおう、 というわけです。

s-word
質問者

お礼

お返事どうもありがとうございます。なるほど、解答に不備があったのですね。 >n=1の場合は実際に代入して調べてしまおう、 というわけです。 なるほど、そうすると、n=kl とおけることも納得できました。そして、n=1 を代入したときに、 >「n=1のとき 2^n-1=2-1=1 となって素数でないから矛盾。 とあるのですが、すいません、「矛盾」というのがよくわかりません。「矛盾」ではなくて、2^n-1=2-1=1 となって素数でないからその対偶の、「2^n - 1 が素数で あるならば、nは素数である。」が成立するということを表しているということだと思うのですが。仮定は、「nが1でも素数でもないとすると」だから、2^n-1が素数であると仮定した訳ではないと思うのですが。問題文の仮定は、「2^n - 1 が素数であるならば、nは素数である。」という仮定で、解答では、違う視点から、違う仮定を立てて証明するという方法だと思うので、どこと矛盾が起きているのかよくわかりません。もしよろしければ、お返事いただけますでしょうか。お返事どうもありがとうございました。

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