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積分方程式の解き方を教えてください
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- stomachman
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問題をきちんと書いてないようです。いけませんねえ。 想像するに、たとえば、 G(u)=∫f(x)cos(ux) dx ただしx,uは実数で、積分はx=-∞～∞の範囲の定積分。 f(x)は実数から複素数への関数であって、 ∀u(0≦u＜1 ⇒ G(u)= 1) ∀u(u＞1 ⇒ G(u) = 0) である。 という問題じゃないでしょうか？ そうだとすれば、おおざっぱには以下のようにして解けます。（うるさいことを言えば、fがどんなクラスの関数なのか、とか議論しなきゃいけないんですが、それはさておき。） まず、∀u(cos(ux) = cos(-ux))ですから、 ∀u(|u|＜1 ⇒ G(u)= 1) ∀u(|u|＞1 ⇒ G(u) = 0) であることが分かります。さらに、G(u)の逆フーリエ変換をg(x)と書くと、 g(x) = (1/(2π))∫G(u)exp(iux)du (積分はu=-∞～∞の範囲） = (1/(2π))∫cos(ux)du (積分はu=-1～1の範囲） = sin(x)/(πx ) です。 以上の準備をした上で、 f(x) = a(x) + i b(x) （a,bは実数から実数への関数） と書くことにしましょう。 f(x)のフーリエ変換をF(u)と書くと、 F(u) = ∫f(x)exp(- iux)dx （積分はx=-∞～∞の範囲の定積分。以下同様） = ∫f(x)cos(ux)dx-i ∫f(x)sin(ux)dx となります。そして、 G(u) =∫f(x)cos(ux)dx = ∫a(x)cos(ux)dx+i∫ b(x)cos(ux)dx ですが、G(u)は実関数なので ∀u(∫ b(x)cos(ux)dx = 0) 従って、bは奇関数∀x（b(x)=-b(-x) ）でなくてはなりません。ゆえに G(u) =∫a(x)cos(ux)dx です。従って、 a(x) = g(x)+h(x) （hは任意の、実数から実数への奇関数） である。なぜならhが奇関数なら∀u(∫h(x)cos(ux)dx=0)だからです。 そこで改めて、実数から複素数への関数cを c(x) = h(x)+ib(x) と書くことにすれば、cは奇関数なら何でも良い。 ですから、答は 「f(x) = sin(x)/(πx ) + c(x)、ここにcは任意の奇関数。」 ちゅうことになります。 もしf(x)を実数から実数への関数、と制限するなら、 「f(x) = sin(x)/(πx )+h(x)、ここにhは任意の奇関数」 さらにf(x)を実数から実数への偶関数、と制限するなら、 「f(x) = sin(x)/(πx )」 が答になります。 え？問題が違う？それは質問者の責任でしょ。
- motsuan
- ベストアンサー率40% (54/135)
右辺ですが、ｘで定義域を表しているようですが 左辺はｘで積分しておりｘを含まないため 等式の意味がよくわからないと思います。 cosux=cos(u x)だとすると左辺はuの関数になると思います。 あとは 左辺がフーリエ変換の実部であることから 右辺をフーリエ変換すればよいのでは？ （係数は定義によると思いますが、 右辺のフーリエ変換の際にその係数を使って 整合性をとればいいと思います。） 追加： 右辺は0≦xで定義されているようですが、 x<0は関係ないのでしょうか？だとすると 益々uが定義域の変数である可能性が高いと思います。 （cos()が隅関数であるため）
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