法線応力差についてわかる方いらっしゃいますか

質問

今、レオロジーについて勉強しているのですが、数学が不得意で化学系に入ったために、数学的にわからないことがでてきました。ネットで検索しても基礎的なことが理解できず困っています。それが、上にも書いた法線応力差なのです。
　具体的には
　　第一法線応力差: N1＝σ11－σ22
テンソルで表記されているらしい(テンソル自体よくわからず、ベクトルのようなものだと思っています)のですが、その力の方向および、なぜ応力差というものでしか測定できないのか（ずばりの法線応力は出てこないのか）がわかりません。よろしくお願いします。

回答No.2

getty_2 · ベストアンサー

学会が二つ連続してあったのとその事後処理で回答が遅れました。すみません。

１．　基本的には、方向の取り方は自由です。取った方向にあったテンソルを
　自分で構築すればいいのです。しかし、本当に自由に取ってしまうと、研究者
　間で議論するときに混乱してしまうので、ある程度の慣例があります。
　それが、Ｎｏ.1の回答で書いた取り方です。回転レオメータのような複雑な
　変形を与える場合は、微小な体積要素を考えてみましょう。ここでは図を
　使えないので説明しづらいのですが、単純ずりの場合と同じような長方形を
　考えた場合、流動方向が全体で考えたときの接線方向に、拘束方向が半径方向に
　それぞれ対応していることがわかるかと思います。
　どのような複雑な変形でも、微小領域を考えることで、単純な変形に帰着させて
　かんがえることができます。これは、今後いろいろな現象を解析していく上で
　重要な考え方になると思うので、習得されることをお勧めします。

２．　ちょっと説明を端折ったので、理解しづらくなったようですね。
　法線応力差と定義されていますが、結局は、法線応力を検出しているわけ
　なので、方向は、法線応力の方向と同じでよいです。静水圧は、すべての面に
　等価にかかる圧力なので、実際の応力テンソルとして記述するときは、開放軸
　方向の応力であるσ22の値の符号を変えたものを成分とした３行３列の対角
　行列になります。ここで、静水圧は物体に向かう方向にかかる力なので、符号を
　反転させる必要性があります。
　それに対して、ずり流動における応力テンソルは、上から順番にσ11、σ22、
　σ33を対角要素として持つ行列になります。実際に測定できる量は、この二つの
　応力テンソルを線型に足し合わせた行列に、右から測定方向の単位ベクトルを
　かけた量になります。実際に計算すると、開放軸の応力を引き算する形で、
　各軸方向の力が得られることがわかるかと思います。

３．一般的にレオメータを用いた測定は、非常に簡単です。その他の機器より
　はるかに取り扱いが楽です。注意すべき点は、試料をセットするときに気泡を
　入れないようにすることです。気泡が入ってしまうと、気泡の運動の応答も
　込みのデータが出てしまうので、精度が悪くなってしまいます。最悪、見ては
　いけないものが本質であるかのように錯覚する場合もあります。
　あとは、初めての測定では、ひずみ速度を低く設定し、力がどの程度出そうか
　予測することが必要です。機械に取り付けられている部品のなかで、最も
　高価なのがロードセルと呼ばれる力を検出する部分です。ここはデリケートで、
　セルの容量の１割増ぐらいの力がかかっただけで壊れてしまいます。また、
　測定方向以外の方向の力にも非常に弱いです。測定持具を付け替えるときにも
　注意して操作を行うようにしてください。
　あとは、データ処理をちゃんとすることです。とにかく測定すればデータは
　でます。それが正しいのか正しくないのか、つまり、ちゃんと目的のものが
　測定できたか測定できていないかを見極めるのは、人間です。そこのところは、
　指導者と議論しながら身に付けていく技術です。健闘を祈っています。

回答No.1

getty_2

まず、テンソルの添え字の意味は理解されておられるでしょうか？
まず、前の数字は、変形をかける面を表していて、後ろの数字が変形方向を
表しています。
基本的に法線応力差が問題になるのは単純ずり（単純剪断）とよばれる
変形モードが一番多いので、そのモードについて解説します。

変形を与える方向は１（ｘ）の面に対して２（ｙ）の方向です。このとき、
溶融高分子などに代表されるような、自分自身や他の分子と非常に強く相互作用
するような場合、その相互作用が原因となって、変形を与えた方向に対して
垂直な方向にも力が生じることがあります。これが法線応力です。具体的には、
変形を与えた面（１の面）を押す力（1の方向）（第一法線応力σ11）と
固定されている３（ｚ）の方向に固定されている３（ｚ）面にかかる力
（第二法線応力σ33）が出てきます。一般的には、第二法線応力は非常に小さく、
測定するには精密な実験が必要になります。

応力差というものしか測定できないという点ですが、地球上で測定する場合、
どうしても静水圧と呼ばれる物体に等方的にかかる圧力の影響を免れることが
できないことに起因しています。一般的に、応力は、実際に物体が変形することに
よって生じた応力と静水圧の和として表されます。これは実は逆のほうが真なのですが、この方が理解しやすいかと思いますので、あえてこう書きました。そこで、
この静水圧の項を取り除き、純粋に変形によって生じた応力のみを測定するために
差を取るのです。実際には、ある開放軸があった場合、その軸方向の応力を見かけ
上０になるように系の応力状態が決まるので、測定するときには自動的に静水圧の
項が引き算された応力を検出することになります。
単純ずりの場合は、２（ｙ）の方向が開放方向になるので、
　第一法線応力差：N1＝σ11－σ22
　第二法線応力差：N2＝σ22－σ33
になります。第二法線応力差を負の方向に取るのは慣例です。逆の取り方をする
参考書もあります。

お礼

回答ありがとうございました。頑張ってみます。

補足

早速の回答ありがとうございました。まだ以下の疑問が残っていますので、回答をお願いいたしたいのすが。お手数をかけまして申し訳ありません。

　１．法線応力の方向の設定の仕方、つまりどの方向が11で、どの方向が22そして33なのかということです。レオロジーの本を見ていますと、円錐ー円筒型や二重円筒で法線応力の設定の仕方に共通点を見出しかねています。このように考えれば、応用が利くというものをお教えいただければ幸いです。

　２．法線応力差の方向というのは、N1なら１の方向、N2なら２の方向でよいのでしょうか。それとも場合によっては、軸方向にならない場合もあるのでしょうか。

　３．今、とりあえずわからないなりに、レオメーターでの測定を考えています。実際のデータを見てみようと思っています。そのとき、円錐ー円筒型でトラストを測定して、N1を得ようとしています。なにか注意するべきことはありますか。