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塾講で出会った高１の問題ですが・・・
stomachmanの回答
- stomachman
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どうも本筋でない話になってるんじゃ？ 式の変形のテクニックやアイデアなど全く無用の、機械的に処理できる何でもない問題ですよ。 f(x,y)=x^2 + 2xy + 5y^2 -8y -4x +5 と書くことにすれば、 (*) ∀x∀y (f(x,y) ≧0) を示すには (1) ∃x∃y (f(x,y) ≧0)である。 (2) xについての方程式（つまりyを定数だと思えばよいのです。） f(x,y)=0 が、yがどんな値であっても実数解を持たないか、持っても重解である。 この(1)(2)を示せば良い訳です。まず(1)ですが、これは(*) が成り立つのならx,yに何をいれても負になるはずですから、(x,y)=(0,0)としてみると f(0,0) = 5 ≧0 これで(1)が証明されました。 さて(2)は言い換えればxについての判別式D(y) D(y)=(y-2)^2-(5y^2 -8y +5) =-4y^2+4y-1 が、どんなyについても正にならないこと (3) ∀y(D(y) ≦ 0) を証明すればよい。これまた (3-1) ∃y (D(y) ≦ 0) (3-2) 方程式 D(y)=0 が解を持たないか、持っても重解である。 この(3-1)(3-2)を示せば良い。まず(3-1)は D(0) = -1 ≦ 0 です。次に(3-2)は、言い換えれば判別式が正にならないことを示せばよい。実際やってみると 判別式=(2^2)-(-4)(-1)=4-4=0 以上から、(3-1)(3-2)が証明されたので、(3)が証明された。つまり(2)が示された。 (1)(2)が証明できたから、(*)の証明はおしまいです。
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