塾講で出会った高１の問題ですが・・・

質問

塾講のバイトをしているのですが高１の問題できちんと説明できなくて困った問題がありました。次の証明問題です。

X^2 + 2xy + 5y^2 -8y -4x +5 ≧ 0 を証明せよ。

です。
同僚もできなかったのですが、どなたか明瞭な解法と答えをご存知ないでしょうか？

回答No.1

sketch · ベストアンサー

(与式)=x^2+2(y-2)x+5y^2-8y+5
=x^2+2(y-2)x+(y-2)^2-(y-2)^2+5y^2-8y+5
={x+(y-2)}^2-(y^2-4y+4)+5y^2-8y+5
=(x+y-2)^2+4y^2-4y+1
=(x+y-2)^2+(2y-1)^2

よって、実数の平方の話で表されるので、(与式)≧0が成り立つ。
等号成立はx+y+2=0かつ2y-1=0より
x=3/2, y=1/2

細かい計算は違うかもしれませんが、文字二つが複雑に絡み合った
不等式の証明は、このようにして平方の話にするのが基本です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

(与式)=x^2+2(y-2)x+5y^2-8y+5
=x^2+2(y-2)x+(y-2)^2-(y-2)^2+5y^2-8y+5

のあたり（特に2(y-2)xのあたり）の式変形の運び方が私には思い付きかねるのですが、何か良い方法はないのでしょうか？
与式を見た感じでは、(ax+by+c)^2など、様々な、与式から予想される平方の和の形が存在すると考えると、なかなか(ax+by+c)^2+(dy+e)^2の形を思い付くのが難しいです。
お礼文中に申し訳ないですが、良い方法があれば教えて下さい。

回答No.8

stomachman

全く以て申し訳ないことにまだチョンボがありました。
> (1) ∀y∃x (f(x,y) ≧0)である。
> (3-1) ∃y (D(y) ≦ 0)
ではダメで、 正しくは

(1) ∀y∃x (f(x,y) ＞0)である。
(3-1) ∃y (D(y) ＜ 0)

です。証明は同じ。

回答No.7

stomachman

shroederさん＜　おぼれ…ぶくぶくぶく…
～なんて、全然。偏微分を多少ともご存じならすぐにピンと来るはずですけど、２変数関数だと思うからおかしくなるんですよ。
　yを固定して考えれば１変数。つまり、y軸に垂直な面で切った断面で考えるんです。で、yの値を幾らに固定しても（つまりどこで切っても）「重解もしくは解なし」ならば問題は解決って訳です。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
さて、実はNo.5にはチョンボがあります。
> (1) ∃x∃y (f(x,y) ≧0)である。
では駄目で、
(1) ∀y∃x (f(x,y) ≧0)である。
を示す必要があります。いや勿論、簡単です。

証明：x=0として
f(0,y)=5y^2 -8y +5
これは判別式=((-4)^2)-5×5 < 0
ですから、f(0,y)はいつでも符号は同じで、f(0,0)≧0。だから
∀y f(0,y)≧0
によって、(1)が証明されました。

以上、訂正です。

回答No.6

shroeder

stomachmanさん、技におぼれましたね。
２変数の関数が重解であるというのは意味をなさないでしょう
たとえば x^2+y^3 の場合　(0,0)は重解ですか？

この場合は他の人の解答の方が普通でしょう。
どんな方法でやっても変数を１つ減らせば、残りは完全平方
になるように問題が選んであります。
線形代数の２次形式の対角化からとって来た問題でしょう。

回答No.5

stomachman

どうも本筋でない話になってるんじゃ？
式の変形のテクニックやアイデアなど全く無用の、機械的に処理できる何でもない問題ですよ。

f(x,y)=x^2 + 2xy + 5y^2 -8y -4x +5
と書くことにすれば、
(*) ∀x∀y (f(x,y) ≧0)
を示すには

(1) ∃x∃y (f(x,y) ≧0)である。
(2) xについての方程式（つまりyを定数だと思えばよいのです。）
　f(x,y)=0
　が、yがどんな値であっても実数解を持たないか、持っても重解である。

この(1)(2)を示せば良い訳です。まず(1)ですが、これは(*) が成り立つのならx,yに何をいれても負になるはずですから、(x,y)=(0,0)としてみると
f(0,0) = 5 ≧0
これで(1)が証明されました。

さて(2)は言い換えればxについての判別式D(y)
D(y)=(y-2)^2-(5y^2 -8y +5)
=-4y^2+4y-1
が、どんなyについても正にならないこと
(3) ∀y(D(y) ≦ 0)
を証明すればよい。これまた

(3-1) ∃y (D(y) ≦ 0)
(3-2) 方程式
D(y)=0
　が解を持たないか、持っても重解である。

この(3-1)(3-2)を示せば良い。まず(3-1)は
D(0) = -1 ≦ 0
です。次に(3-2)は、言い換えれば判別式が正にならないことを示せばよい。実際やってみると
　判別式=(2^2)-(-4)(-1)=4-4=0

以上から、(3-1)(3-2)が証明されたので、(3)が証明された。つまり(2)が示された。

(1)(2)が証明できたから、(*)の証明はおしまいです。

回答No.4

guiter

すでに回答はあるので補足です。

No1 のお礼で
＞（特に2(y-2)xのあたり）の式変形の運び方が私には思い付きかねるのですが、
＞何か良い方法はないのでしょうか？
とありますが、sketch さんの回答はまずｘを変数ｙを定数と見て
ｘについての２次式として平方完成を行なっています。
そのあとで、ｙについても平方完成を行なっているわけです。

今の場合先にｘを変数としてみたほうがやりやすいですが
あえてｙを先にやると
　x^2 + 2xy + 5y^2 - 8y - 4x + 5
＝5y^2 +2(x-4)y + x^2 -4x +5
＝5{y+(x-4)/5}^2 + (4x^2 - 12x + 9)/5
＝5{y+(x-4)/5}^2 + 4/5*(x-3/2)^2
のようになります。
最後の形は異なりますが、どちらを先にやっても証明できています。

回答No.3

kinoata

懐かしいですねー。
僕も頭がさび付いてしまっていそうだったので
暇潰しに解いてみました。

もうsketchさんが解かれてしまったので回答はいらなそうですが、
式の変形が思いつかないということでちょっとしたアドバイス。
平方の和に持っていくというのは式を見たときに予測がつくと思いますので
あとは変形なのですが
僕の場合

x^2 + 2xy + 5y^2 - 8y - 4x + 5
= (x+y)^2 + 4y^2 - 8y - 4x + 5
= (x+y)^2 -4(x+y) -4y + 4y^2 + 5
= (x+y)^2 -4(x+y) + 4y^2 -4y + 5
= (x+y)^2 -4(x+y) +(2y-1)^2 + 4
= (x+y)^2 -4(x+y) + 4 + (2y-1)^2
= (x+y-2)^2 + (2y-1) ^2

という経過を経ました。

とりあえず(x+y)^2はすぐに出てきますよね。
あとは(x+y) = a と考えて
(a+b)^2の形に持っていけるように無理やり(x + y)を作ってやると
a^2 -4a -4y + 4y^2 + 5
になるので、（a^2 -4a +定数１）と（4y^2 -4y +定数２）が
(定数１)＋(定数２) = 5をみたしつつそれぞれ平方の形になるように考えてやればよいと気付くでしょうから
（a^2 -4a +定数１） -> (a -2)^2
（4y^2 -4y +定数２）-> (2y -1)^2
で上手くいきますね。
あとはaに x+y を戻してやれば出来上がりです。

お礼

なるほど、確かにそう考えると(x+y-2)^2+(2y-1)^2にたどり着けますね。
わかり易く説明して頂いて、嬉しくおもいます。
ありがとうございます。

回答No.2

taro1122

#1の方の解答で間違いありません。よく解説していると思います。