多項式からｘの値をもとめる

質問

どなたか教えてください。
f(x)＝X^6-7X^3-8
虚数もふくめてすべてXの値を求めるには、
f(x)＝(x-2)(x+1)(X^4+x^3+3X^2-2X+4)
まではできましたが、その後、虚数解を求めるには
どうしたらいいでしょうか？

回答No.3

adinat · ベストアンサー

♯1さんの方法がわかりよいですが、
f(x)＝(x-2)(x+1)(x^4+x^3+3x^2-2x+4)
で、(x^4+x^3+3x^2-2x+4)はさらに次のように因数分解できます。
x^4+x^3+3x^2-2x+4=(x^2+2x+4)(x^2-x+1)
あとは二次方程式を解くだけです。

なおx^4+x^3+3x^2-2x+4はこれ以上は通常の方法では因数分解できません。つまりどんな整数をxに代入しても0にはなりません。このような因数定理の使えない4次方程式は大学受験レベルでは要求されませんが、もしそのような4次方程式が問題に出てきたなら、2次式×2次式に因数分解できることになります。このときは
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+ex+f)(x^2+gx+h)
のように因数分解を試みるわけです。e,f,g,hと4つの数を求めることになりますので、因数分解の問題としてはもっとも難しいレベルになると思います。

もっともこの問題がそんな難しい問題になるのは、x^6+7x^3-8をそのまま因数分解してしまったために起きたことで、♯1さんの方法でa=x^3のように置き換えてやれば実はただの2次式と3次式の因数分解に帰着させることができます。

なお余計なおせっかいですが、♯1さんの回答は
f(a)=a^2-7a-8
　　=(a-8)(a+1)
ここでもとに戻すと
f(x)=(x^3-8)(x^3+1)
=(x-2)(x^2+2x+4)(x+1)(x^2-x+1)
こちらの方が正しいと思います。

お礼

有難うございました。おかげさまで納得できました。
ちょっとトラブルがあったため、お礼が遅くなってすみません。　これからもどうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

Ryou29

g(x) = f(x)/((x-2)(x+1)) ＝X^4+x^3+3X^2-2X+4

と置いてみます。これいじょう簡単には因数分解できませんか？g(x)のxに 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,..を代入してg=0となるものはありませんでしたか。。では同じく、+-(i,2i,3i,4i,5i,..), または +-(i/2,i/3,i/4,i/5,..) では0 になりませんか。。もしx=a で0 になれば (x-a) で因数分解できますよ。。

　計算ですねーー！！がんばって！

回答No.1

gonna-be-sorry

解を求めるってことはf(x)=0ってことでいいんでしょうか？そうだとすると、
a=x^3で置き換える。
f(a)=a^2-7a-8
　　=(a-8)(a-1)
ここでもとに戻すと
f(x)=(x^3-8)(x^3-1)
=(x-2)(x^2+2x+4)(x-1)(x^2+x+1)
となります。あとは解の公式を使えば全部出てきます。これでどうですか？

お礼

有難うございました。
とても良い説明でようやくわかりました。
これからもどうぞよろしくおねがいします。