よろしくおねがいします。

質問

以下の問題が分からないので、教えてください。
文字の右側の半角の数字は、〇乗として考えてください。
１．Ｘ2＋ｙ2＝１のとき、ｙ－３分のＸ＋１の最小値。
２．Ｘ、ｙが実数でＸ2＋ｙ2＝１のとき、２Ｘ＋ｙの最大値。
３．４０人の生徒から５人選ぶとき特定の２人が必ず入っているような組み合わせは、全部で何とうりあるか。

回答No.2

newtype · ベストアンサー

せっかくですからtaropooさんの回答を分析しましょう。

１．のtaropooさんに回答は「逆の対応」という考えを用いた解法です。

（１）通常の解法（ｘ、ｙを直接動かす）
「x^2 + y^2 = 1」を満たす、すべてのｘ、ｙを「y - x/3 + 1 = k」に代入し、 minｋ，maxｋを求めればよいので、ｘ，ｙをすべて動かしてやればよい。
「x^2 + y^2 = 1」を満たすｘ、ｙはｘ＝cosθ、ｙ＝sinθと置ける。(重要！)

よって、ｋ＝sinθ－cosθ／３＋１となる。（１変数になおせた！）
⇔ｋ＝（√10／３）sin(θ＋α)＋１，（cosα＝３／√10，sinα＝－１／√10）
０≦θ≦３６０°のとき、－１≦sin(θ＋α)≦１なので、
maxｋ＝１＋（√10／３），minｋ＝１－（√10／３）
最小値をとるｘ、ｙは、θ＋α＝270°より、
ｘ＝cos(270°－α)＝－sinα＝１／√10，ｙ＝sin(270°－α)＝－cosα＝－３／√10
よって、最小値１－（√10／３）、（ｘ＝１／√10、ｙ－３／√10）

（２）逆の対応の解法（ｘ、ｙの存在条件からｚの値のとりうる範囲を求める。「逆手流」と書いてある参考書もある）
ｚ＝y - x/3 + 1 を満たすｚが実数ｋを値にとる。
⇔x^2 + y^2 = 1…（１），y - x/3 + 1 ＝ｋ…（２）の２つの式を満たす実数ｘ、ｙが存在する。…（☆）
⇔（２）式を（１）式に代入した「x^2 +(k+x/3 -1)^2－１＝０」を満たす実数ｘが存在する。（⇒はｙの消去，逆はｘに対しｙをｙ＝ｋ－ｘで定めれば☆が成立する）
⇔「１０ｘ^2＋（６ｋ－６）ｘ＋９ｋ^2－１８ｋ＝０」を満たす実数ｘが存在する。
⇔「１０ｘ^2＋（６ｋ－６）ｘ＋９ｋ^2－１８ｋ＝０」が実数解をもつ。
⇔判別式Ｄ／４＝（３ｋ－３）^2－１０（９ｋ^2－１８ｋ）≧０
⇔９ｋ^2－１８ｋ－１≦０
⇔１－√10／３≦ｋ≦１＋√10／３
よってｚのとりうる値の範囲は１－√10／３≦ｚ≦１＋√10／３。
∴ｚの最小値は１－√10／３。

問２も同じように解ける。
以上。
よってｚの最小値は１－（√10／３），「このときのｘ、ｙは（１）（２）式の交点」

お礼

大変わかりやすい解説ありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.1

taropoo

１．y - x/3 + 1 = k とおいてこの式をx、またはy（好きな方）についてといて
　x^2 + y^2 = 1 に代入するとx、またはyの２次式が出来ます。
　この２次式が実数でなければならないので判別式Ｄが正。
　この不等式を満たす k の最小値を求めれば良いでしょう。

２．上の問題と方針は全く一緒です。

３．４０にんから５にん選ぶ時必ず特定の２人が入ってると言う事は、
　やる事は３８人の中から残りの３人を選ぶ作業になります。
　（アドバイスではなくほとんど答えを言ってますね。）

頑張ってください。

お礼

大変わかりやすい解説ありがとうございました。
とても参考になりました。