行列の表示方法

質問

某参考書にこのようなものが記載されていました。
Ｖは2行2列の行列式です。

Ｖ(12)Ｖ(13)Ｖ(12)=V(23)

これはどのような原理から行列V(23)が出てくるのでしょう？
またこの表示で言うと行列V(123)若しくは行列V(132)はどのような式から導き出せるのでしょうか？教えてください。よろしくお願いします。

回答No.9

guiter

＞＝-U(13)|s2>|s1>|s3>
＞＝|s3>|s1>|s2>
＞になる部分が分かりません。
申し訳ないです。
考えながら回答を書いていたら式の書き方が統一されていませんでした。
２粒子、３粒子の場合の式を
　|s1>|s2> = -|s2>|s1>
　|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
から
　U(12)|s1>|s2> = -|s2>|s1>
　U(12)|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　U(13)|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
に訂正してください。これで、納得できるかと思います。

例えば、U(12)|s1>|s2> = -|s2>|s1> の場合
状態 |s1>|s2> に置換演算子 U(12) を作用させると
電子１と電子２が入れ替わり、反対称の負号がつくので -|s2>|s1> となるというこ
とです。

U が置換演算子という前提で少しまとめをしておきます。
　U(12)＝U(21)
　U(12)^2＝１　（右辺の１は恒等演算子）
　U(123)^3＝１
したがって、U(12) の固有値は±１となります。
電子のようなスピンが半整数の粒子(フェルミオン)の場合
波動関数は半対称なので固有値が－１の場合に相当します。
また、整数スピンの粒子の場合は波動関数が対称なので固有値＋１になります。
行列 (12) は固有値が±１になる最も簡単なものになっています。

また、
　　(13)
|1/2 √3/2|
|√3/2 -1/2|
については、指摘が間違っており申し訳なかったのですが
このままでもこの行列の２乗は単位行列 E なので良さそうです。
そして、私が指摘しようと思ったのは
（123）
|-1/2 √3/2|
|√3/2 -1/2|
です。この行列の３乗が E になっていないので
巡回置換を３回行なってももとの状態に戻らないことになります。
また、U(123)=U(13)U(12) を満たしていません。
この式を満たすためには michikoremon さん訂正後の (13) から考えると
|-1/2 -√3/2|
|√3/2 -1/2|
が正しいですね。

最後に、私がまだ良くわかっていないのはＶについてです。
No4 の回答の補足における V(12)V(13)V(12)=V(23) などをみると
U と同じように置換演算子なのかとも思えます。
置換演算子なのかどうかが良くわかっていません。
置換演算子だと仮定すると V(12) を U のときと同じく最も簡単な
　|-1 0|　　　|1 0|
　| 0 1|　or |0 -1|
と取ると、どちらを選んだとしても V(13) が　　
　|a　b|
　|c　d|
のとき、 V(23) は
　|a　-b|
　|-c　d|
となると思うのですが。

まず、V が置換演算子なのかどうか？
それから、 V(P) の P や右辺の E は何を表すのか？
を補足していただけませんか。
文章が長くならないのであれば、出来るだけ多く
＞V(13)+V(23)=1/2(2+4(s1+s2)s3)
や
＞V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)
近辺の本文があるとありがたいです。

長くなってしまいました。

補足

分からない事があるので…もう少しお聞きします。

　|s1>|s2> = -|s2>|s1>
　|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
から
　U(12)|s1>|s2> = -|s2>|s1>
　U(12)|s1>|s2>|s3> = -|s2>|s1>|s3>　　…(1)
　U(13)|s1>|s2>|s3> = -|s3>|s2>|s1>　　…(2)
に訂正してください。これで、納得できるかと思います。

の所ですが、やはり理解できません。

-U(13)|s2>|s1>|s3>
=U(13)|s1>|s2>|s3>
=-|s3>|s2>|s1>

となってしまいどうしても|s3>|s1>|s2>
にならないのですが…何処の部分の考え方が間違っているのでしょうか？

U(ij)=-V(ij)=-1/2(1+4(si,sj))
と定義されるそうです。実は今、V(ij)の1電子のとき、2電子のとき、3電子のとき、4電子のときを計算していくのが目的なのです。

V(P)は合成スピンSの状態を表すスピン函数に作用する置換Pの表す演算子の行列V
(P)を求めるのに、任意の置換は交換(ij)の積で表されるから、交換に対する行列V(ij)が求められれば十分である。

ｎ電子系の任意のスピン函数を、例えば１番目2番目の電子に関するスピン函数で展開し
@(1,2,..,n)=α(1)α(2)@1+α(1)β(2)@2+β(1)α(2)@3+β(1)β(2)@4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……（45．1)

とする。ここに@1,@2,@3,@4はそれぞれ(3,4,...n）の電子によるスピン函数である。これに、
4(s1,s2)=2(s1x-is1y)(s2x+is2y)+2(s1x+is1y)(s2x-is2y)+4s1zs2z
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……(45．2)

を作用させれば、
4(s1,s2)@(1,2,...,n)=α(1)α(2)@1+{2β(1)α(2)-α(1)β(2)} @2+{2α(1)
β(2)-β(1)α(2)}@3+β(1)β(2)@4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……（45．3)

従って
1/2(1+4(s1,s2))@(1,2,..,n)=α(1)α(2)@1+β(1)α(2)@2+α(1)β(2)@3+β(1)β(2)@4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……(45．4)
となり、これと（４５．１）とを比較すれば、(45．1)に置換P=(12)を行った物に一致する。
従って演算子として

　　(12)=1/2(1+4(s1,s2)) ......(45.5)
なる関係が導き出せる。一般に交換(ij)なる演算子はスピン演算子によって
　　(ij)=1/2(1+4(s1,s2)) ......(45.6)
で表される。行列V(ij)はスピン函数系に(45．6)なる演算子を作用させる事によって得られる事になる。
2電子系n=2
4(s1,s2)=2{(s1+s2)^2-s1^2-s2^2}, s^2 1,2=s(s+1)=3/4
であるから
S=1ならば　　S^2=(s1+s2)^2=S(S+1)=2
V(12)=1
S=2ならば　　S^2=0
V(12)=-1
となる。
3電子系n=3
S=3/2ならば　　V(P)＝１（すべてのPに對し）
S=1/2ならば　　n=2のS=1とS=0とから、交換(12)に対してはそれぞれ+1,-1になっており第三の電子スピン函数が加わっても(12)は無関係であるから

V(12)＝
|1 0|
|0 -1|

V(E)=
|1 0|
|0 1|

又、V(13)+V(23)=1/2(2+4(s1+s2)s3)において
s1+s2=0の状態より生ずる第二對角要素は１となる。
V(13)＝
|a b|
|c d|

と置けば

V(12)=V(13)=V(12)=(23)=
|a -b|
|-c d|

であるからd=1/2を得る。交換に対する指標は一定であり、
X(12)=X(13)=X(23)=0 a=-1/2
を得る。さらにユニタリーで有るから、V(12)＾2＝１よりb=c=±√3/2となる。
今、一般にn-1個の電子系におけるV(ij)がこのようにしてつくられているとしてｎ個の電子系に對する表現行列を作ってみよう。

後の実際の使用のことを考えてV(ij)自身よりも
U(ij)=-V(ij)=-1/2(1+4(si,sj))
で定義される。

…で3電子のとき
s=1/2の場合

V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)

となると出ていました。
なぜ、（312)とかは必要なくてこの式が導き出せるのか、まるで分かりません。
出来るだけ噛み砕いて教えてください。よろしくお願いします。