最大公約数や最小公倍数をだす時になぜ、素数で割るのか？

質問

最大公約数や最小公倍数をだすときに、素数で割っていきますが
なぜ、素数でなければならないのですか？

回答No.5

miku0004

質問者の方がどのくらいのレベルなのかが把握できない為、一応基礎から全て答えますので、わかるところは適当に読み飛ばしてください。

「素因数分解」がわかれば、ここはすっ飛ばしてください。

まず、素数というものは「その数か1でしか割れない数(自然数)」です。
例：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…

全ての自然数は素数の掛け算で表す事ができます。
なぜなら、ある自然数が素数でなければ、その数は「その数か1以外でも割れる数」であり、割れる＝積の形で表せることであり、さらにその積となった数字のひとつひとつが素数でなければまた同じく積の形に表せて…
最終全て素数の積になるでしょう。
例：ある自然数30について
30は2で割れる→30＝2×15
15は3で割れる→30＝2×(3×5)
2,3,5は素数だな→30＝2×3×5はこれ以上分解できないな⇒終了

次に最大公約数について

「共通に割ることができる数で最大のもの」
例：18,24の場合⇒最大公約数は6(18÷6＝3,24÷6＝4)
ちなみに
18＝6×3
24＝6×4
と書くと、両方の式に共通の"6"が掛け算されていることがわかります。
このことから共通の積があればその数で両方とも割り切れ、共通の積で最大のものが最大公約数になる、ということは分かっていただけると思います。

で、本題の、なぜ素数で割るのか、ということに関してお答えすると、答えは「間違いがないから」です。

先の説明から素因数分解をすると、これ以上割れない数(素数)ばかりの積の形で表せます。
ここで大事なのは「誰がやっても、積でこれ以上分解できない同じ形」になることです。
例：180,600
180＝2×2 ×3×3×5
600＝2×2×2×3 ×5×5
誰がやってもこうなります。

で、最大公約数を求める時は、この中から共通の積で最大になる数を求めればいいわけです。
ちなみに素数で分けずに適当な積で分けると、
180＝4×3×15
600＝2×5×6×10
などとなり、さっぱり分かりません。

上の素因数分解の形でみると、
2は180では2つ、600では3つある、それじゃあ、共通にとれる2は2つだけだね。
3は180では2つ、600では1つある、それじゃあ、共通にとれる3は1つだけだね。
5は180では1つ、600では2つある、それじゃあ、共通にとれる5は1つだけだね。

180＝(2×2×3×5)×3
600＝(2×2×3×5)×2×5

最大公約数は2×2×3×5＝60だ！
てな具合に間違いが少なく計算していくことができます。

長すぎてごめんなさい。
こんな書くつもりもなかったし、書く必要もないかと思ったけど、途中で引っ込みがつかなくなってしまいました。

お礼

ありがとうございました。
僕は小学５年生です。
とっても良くわかりました。僕たちは今、約数や公倍数を習っているのですが
素数という言葉も習ってないし、割り算の反対のような式で、2つの数の
最大公約数や最小公倍数の出し方も習っていません。
それで　その出し方は親に聞いたのですが、なぜ素数でなければならないかが
よくわからなかったのです。
でも、よくわかりました。