因数分解

質問

a＾3(b-c)＋b＾3(c-a)＋c＾3(a-b)について
因数分解すると
与式＝{(a＾3)b}-{(a＾3)c}＋{(ｂ＾3)c}-{(b＾3)a}-{(c＾3)(a-b)}
=ab・{(a＾2)-(b＾2)}-c{(a＾3)-(b＾3)}＋c＾3・(a-b)
までしかわかりませんでした
おねがいします

回答No.7

chiropy · ベストアンサー

他の人とかぶっているかもしれません。(質問でが boku115 さんが解いた続きからではありません……)

a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
=a^3b-a^3c+b^3c-ab^3+ac^3-bc^3
　　　　aについて整理
=(b-c)a^3+(c^3-b^3)a+bc(b^2-c^2)
=(b-c)a^3+(c-b)(c^2+cb+b^2)a+bc(b+c)(b-c)
=(b-c)a^3-(b-c)(c^2+cb+b^2)a+bc(b+c)(b-c)
　　　　(b-c)でくくる
=(b-c){a^3-(c^2+cb+b^2)a+bc(b+c)}
=(b-c)(a^3-ac^2-abc-ab^2+b^2c+bc^2)
bについて整理
=(b-c){(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2}
=(b-c){(c-a)b^2+(c-a)cb+(a^2-c^2)a}
=(b-c){(c-a)b^2+(c-a)cb+(a-c)(a+c)a}
=(b-c){(c-a)b^2+(c-a)cb-(c-a)(a+c)a}
　　　　 (c-a)でくくる
=(b-c)(c-a){b^2+cb-(a+c)a}
=(b-c)(c-a)(b^2+bc-a^2-ac)
=(b-c)(c-a){(b^2-a^2)+(bc-ac)}
=(b-c)(c-a){(b-a)(b+a)+c(b-a)}
(b-a)でくくる
=(b-c)(c-a)(b-a)(b+a+c)
読みやすく並び替え
=(b-a)(b-c)(c-a)(a+b+c)

こんな解き方で良いでしょうか？

お礼

丁寧な解説どうもありがとうございました

回答No.6

kansai_daisuki

一般的なアドバイスですが、
このような問題を見た瞬間に気付くべき点は、

１：
とりあえず、与式の対象性(a,b,cについて）ですね。
これで一瞬で解ける場合があります。
今回は、そうではないようですが。

２：
それから、次に、a^3などを見れば、一つの変数について、降順に書き直してくくり出す、ということですね。

３：
さらには、(b-c)がくくり出せた時点で、１で述べた対象性から(a-b),(c-a)でもくくり出せることに気付くことです。気付けなかったら、これからは気付けるようにしてくださいね。とにかく、入試までに間に合えばいいですから。

４：
つぎに、f(a,b,c)とおいた後に、f(a,b,c)=-a+x
（ここで、xは、aの0次、即ち、bとcで表される数式です。）とわかると、これも、今回は与式の対象性から、即、f(a,b,c)=-a-b-c=-(a+b+c)と気付けるでしょう。

こうなると、-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)が因数に含まれることは分かりますよね。

５：
次に、他に因数はないか確かめます。
とりあえず、-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)を展開するしかないでしょう。

　(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)} と(b-c)までは、くくり出せたのですから、
a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)を目指せばよいでしょう。

　展開して確かめた結果、
-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)以外に因数はありませんでした。更に、これに加減算する数式もありませんでしたね。

以上で、数式は証明できました。
考え方は分かりましたか？

追伸：
　高校生の家庭教師をしていた経験もあるので、考え方を教えるのも自信があったのですが、最近は企業勤めが長くなり、公式や解法忘れてきました。。。。

　まあ、高校数学を解く機会は、高校を卒業して以来10年以上もありませんでしたから、逆に新鮮ですね。

回答No.5

kansai_daisuki

Ｎｏ２さんのように、
a＾3(b-c)＋b＾3(c-a)＋c＾3(a-b)
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)} ---(α)
までは分かると思います。
ここで、与式の対象性と(b-c)がくくり出せた事から、
(a-b)と(c-a)もくくり出せますよね。
ここで、
(a-b)(c-a)
=ca-a^2-bc+ab
=-(a^2-ab-ca+bc)
=-{a^2-(ab+ca)+bc}
=-{a^2-(b+c)a+bc} ---(β)

ここで、a,b,cを定義域とした関数をf(a,b,c)とおくと、(α)(β)より、
(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
=-(b-c){a^2-(b+c)a+bc}f(a,b,c)
ですよね。

ここで、両者を比較すると、
a^3の係数より、
f(a,b,c)=-a+xでなければなりませんね。
（これをみると、対象性からf(a,b,c)=-(a+b+c)では？
と気付きそうですが。。。。まあ、置いていおいて。）

次に、aの0次を見ると、(β)に(b+c)をかける必要があります。
（(b+c)をみると、対象性から(a+b+c)では？
と気付きそうですが。。。。まあ、置いていおいて。）

これより、aの1次を見ると、(β)にも(b+c)をかけなければなりません。
すると、(b+c)^2a=(b^2+2bc+c^2)aですが、
(α)をみると、-(b^2+bc+c^2)aですよね。
よって、お分かりのように、bcaの差があります。

さて、それでは、以上より、因数分解してみましょう。

(α)
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)+g(a,b,c)
（ここで、gは、a,b,cを定義域とする関数。)
=(b-c){a^2-(b+c)a+bc}(a+b+c)+g(a,b,c)
=(b-c)[{a^3-(b+c)a^2+abc}+{a^2b-(b+c)ab+b^2c}+{a^2c-(b+c)ca+bc^2}]+g(a,b,c)
=(b-c){a^3-ab^2+b^2c-(b+c)ca+bc^2}+g(a,b,c)
=(b-c)[a^3-{b^2+(b+c)c}a+b^2c+bc^2]+g(a,b,c)
=(b-c)[a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)]+g(a,b,c) ---(γ)

ここで、(α)と(γ)を比較すると、
g(a,b,c)=0
よって、
与式
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

できました。
が、なんかスピード感がなくてすみません。

着実な解法でよいなら、上で十分と思いますが、
もっとスピード感がある華麗な解法がある方、
あとはよろしくお願いします。

回答No.4

martianmax

わかりました
それから
=(b-c)〔-(b+c){a^2-(b+c)a+bc}〕
=(b-c){-(b+c)(a-b)(a-c)}
=-(b-c)(b+c)(a-b)(a-c)
ですね。

回答No.3

glawari

まず{(a^2)-(b^2)}=(a+b)(a-b)
同様に{(a^3)-(b^3)}=(a-b)(a^2+ab+b^2)
となります。
そうすると(a-b)でまとめることができるので
与式＝(a-b){ab(a+b)-c(a^2+ab+b^2)+c^3}
となります。

回答No.2

martianmax

頑張ってみましたが・・

a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
バラす
=a^3b-a^3b+b^3c-ab^3+ac^c-bc^3
こうべきの順に並べる
=a^3b-a^3c-ab^3+ac^3+b^3c-bc^3
=a^3(b-c)-(b^3-c^3)+bc(b^2-c^2)
=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)(b-c)
共通因数でくくる
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
ここまではできましたが、後が・・・

回答No.1

Noy

この手の因数分解の基本は、「最低次数の文字でくくる」です。今、全部次数が一緒なので、aについての式にします。
与式のa＾3(b-c)の部分は放置して、b＾3(c-a)＋c＾3(a-b)を展開、aについてまとめなおします。すると、すべて(b-c)でくくることができるようになるはずです。