Εーδ論法？

質問

0＜｜ｘ-１｜<δのとき｜ｘ＾２－１｜＜ΕとなるδをΕで表せ。
という問題なのですが、この問題が何を言っているのかすらよくわからないです。
ご教示お願いします。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

グラフで考えます。
横軸にｘ、縦軸にｙをとり、ｙ＝ｘ^2 - 1　のグラフ（ア）を描きます。
ｘ軸の上下両側に、-E＜ｙ＜E　の範囲をとり、この中に含まれるグラフ（ア）の部分（イ）を考えます。
ｘ＝1を中心として、左右両側に 1-δ＜ｘ＜1+δの範囲を考え、この範囲が（イ）を全部含むのに必要な最小のδを求めます。

お礼

２回も回答していただきありがとうございます。
Ｎｏ．１のほうの解き方は正直僕にはまだ難しくてよくわかりませんがＮｏ．２の解き方でやってみたところ解けました！
ありがとうございます！

回答No.1

shkwta

文字通りであれば、正確にはこういう意味だと思います。
『正の実数Eについて、「任意のｘにつき 0＜|ｘ-1｜＜γ⇒|ｘ^2－1|＜E 」　が成立する正の実数γの集合をＧ(E)とする。Ｇ(E)の最大の元をδとするとき、δをEで表せ。』

ｘは実数とします（複素数でも同じようにできますが、少し複雑です）

0＜｜ｘ-１｜＜γ⇔1-γ＜ｘ＜1+γ　です。

μ＜γとなる任意の正の実数μ,γについて、つぎの３つの不等式が成立します。
-{(1-μ)^2 - 1} = 2μ-μ^2 ＜ 2γ+γ^2 = (1+γ)^2 - 1 = |(1+γ)^2 - 1|
{(1-μ)^2 - 1} = -2μ+μ^2 ＜ 2γ+γ^2 = (1+γ)^2 - 1 = |(1+γ)^2 - 1|
{(1+μ)^2 - 1} = 2μ+μ^2 ＜ 2γ+γ^2 = (1+γ)^2 - 1 = |(1+γ)^2 - 1|

したがって、1-γ＜ｘ＜1+γとなる任意のｘについて
|ｘ^2 - 1|＜|(1+γ)^2 - 1|　（ア）

|(1+γ)^2 - 1|≦E を満たすγは、（ア）によりＧ(E)の元になります。ここで、
|(1+δ)^2 - 1|＝E となるδを考えます。任意の正の実数εについて、
|(1+δ+ε)^2 - 1|＞E となるので、δ+εはＧ(E)に含まれません。よって、δはＧ(E)の最大の元です。ここから、δをEで表わすのは容易でしょう。