トランプ占いの確率

質問

スペードの1-13のセットとハートの1-13のセットから
1枚ずつひいて行き13個のペアを作る。この時
同じ数字のペアがN組できる確率は？
N=0の確率は
12/13・11/12・10/11・9/10.... = 1/13 だと思いますが
N=1の確率を同じようにやろうとすると
1/13・11/12・10/11・9/10.... = 1/13・1/12 となって
やけに低くなります。N=2,3はもっと低くなるし、、、
どなたか正解を教えてください。
N=12の確率が０というのはわかるんですけど (^^;;

回答No.7

Naoki_M · ベストアンサー

＃６です。計算が合っている保証はないのですが、以下の通りです。どうぞ。

N=0　のとき　0.3678794412
N=1　のとき　0.3678794413
N=2　のとき　0.1839397196
N=3　のとき　0.0613132440
N=4　のとき　0.0153282995
N=5　のとき　0.0030656829
N=6　のとき　0.0005109127
N=7　のとき　0.0000730269
N=8　のとき　0.0000090939
N=9　のとき　0.0000010334
N=10　のとき　0.0000000919
N=11　のとき　0.0000000125
N=12　のとき　0.0000000000
N=13　のとき　0.0000000002

ついでに期待値も計算してみました。１組になりました。組がたくさんできるのは珍しいようです。

お礼

ありがとうございました。お手数をかけしました。
ちなみにまだ４回しかやっていませんが、
N=0 1
N=1 2
N=2 1
です。納得しました。
４以上はかなりむずかしそうですね。

回答No.8

eatern27

#5です。
よく考えると、
{Σ[r=0 to 13-N](-1)^r/r!}/N!
のように変形すれば、N=13を例外扱いしなくてすみますね。

(-1)^r/r!は、((-1)^r)/r!です。
要するに
rが偶数の時は1/r!,奇数の時は-1/r!です。

{Σ[r=0 to 13-N](-1)^r/r!}/N!
を具体的に求めてみたら、#7さんと全く同じ数値になったので、
N(13,n)/13!={Σ[r=0 to 13-n](-1)^r/r!}/n!
となっていると思われます。

もしかしたら、一般には、
N(m,n)/m!={Σ[r=0 to m-n](-1)^r/r!}/n!
となっているのかもしれません。

お礼

ありがとうございます。
皆さんすごいですね。

回答No.6

Naoki_M

とりあえず解いてみました。既に＃４さんが詳しく説明されていますが。

確率を考える前に、まず場合の数を計算します。わかりやすくするために、カードが２枚ずつの場合を考えましょう。N=2のとき１通り、N=1のとき０通り、N=0のとき１通りです。

次に、カードが３枚ずつの場合、N=3のとき１通り、N=2のとき０通りです。

N=1のときは、組のできるカードと組のできないカードに分けて考えます。１～３のうちどれか１つで組ができます。残った２枚のカードでは組ができません。組ができるカードの選び方は3C1通り、残ったカードで組ができない場合の数は、カードが２枚でN=0の場合と同じなので1通り。
したがって求める場合の数は3C1*1=3　３通り　です。

N=0のときは　3!-(1+0+6)=2　２通り

同様にカードの枚数を１枚ずつ増やして計算していけば、場合の数が計算できます。１セットのカードの枚数をm、同じ数字の組の数をnとして、場合の数をN(m,n)とすると、以下の式が成り立ちます。
N(m,m)=1
N(m,m-1)=0
N(m+1,n)=(m+1)Cn * N(m,0)
N(m,0)=m!-Σ(k=1 to m) N(m,k)

求める確率はN(m,n)/m!
これで計算できると思います。表計算ソフトを使ったら楽に計算できました。

お礼

ありがとうございます。
申し訳ありませんが答えもお願いできませんか？

回答No.5

eatern27

スペードとハートの束からそれぞれ引いて、引いた順にペアを作る、とのことですが、

例えば、ハートの束から順番に引いて、引いた順にスペードの1,スペードの2,・・・,スペードの13とペアを作ると考えても同じ事ですね。

答えは、おそらく、

13ＣN*{(13-N)!+Σ[r=1 to 13-N](-1)^r(13-NＣr)(13-N-r)!}/13!

={1+Σ[r=1 to 13-N](-1)^r/r!}/N!

だと思いますよ。(Ｎ＝13の時、Σの項＝0とすれば、N=13の時も成り立つ)

規則性を見つけるには、
N=13,12,11,・・・,1
の順に考えていった方がいいかもしれませんね。

お礼

ありがとうございます。
難しい式ですね
(-1)^r/r!　は　-1の(r/r!)乗ですかね？

回答No.4

noname#181872

まずはN=0の場合が間違っています。
わかりやすく、ペアにした後、スペードの小さい順に
ペアごと並べなおすとします。つまり1個目のペアのスペードの
ナンバーは1とします。

式のはじめに出てくる12/13は1枚目に13枚のカードのうち
1を除いた12枚がOKということだと思います。
また、次の11/12は2枚目に残った12枚のうち11枚OK
ということを言っているのではないかと思います？
それを繰り返すことが間違っています。
わかりやすく3枚の例と4枚の例で比較します。

N=0となるような組み合わせを考えます。
3枚の場合、ハートの1枚目が3だった場合、2枚目に2が来ると
そろってしまいます。そのため2枚目に選べる数は1/2。
またハートの1枚目が2だった場合、ハートの2枚目には
1と3が入る可能性があります。しかしN=0となるような
組み合わせということなので、2枚目に1が来てしまうと、
3枚目でそろってしまいます。
そのためN=0となる確率は
1/3*1/2+1/3*1/2=2/3*1/2であっています。
ただ、この1/2ですが、はじめの例と後の例では意味合いが
違うような感じがしませんか？1枚目が3の場合は、
2枚目の時点で片方しか選べない、1枚目が2の場合は
2枚目は一応残ったカードのどっちでもOK。ただ、3枚目で
おかしくなるから、片方を選ぶというわけです。

これを4枚で考えます。
ハートの1枚目が3だった場合、残りのカードは1,2,4。その中で
2枚目は2を選べないのでOKなのは1と4。なので、2/3が
いえます。しかし、ハートの1枚目が2だった場合、
残りのカードは1,3,4。この時点ではどれを選んでも
2枚目では矛盾しないわけです。つまりハートの1枚目が2
だった場合、N=0を満たす2枚目の選び方は現時点で確率1なわけです。

最終的には3枚目、4枚目がどう来るかという組み合わせ次第で
すべてがOKというわけではないのですが、
12/13・11/12・10/11…という考え方では数が多くなれば
取りこぼしが出てくるというわけです。

N=1の時にコンビネーションを使わなければならないのは
#3さんのおっしゃるとおりです。

ちなみに答えを出すヒントとして。
1)数を少なくしてすべて書き出し、法則を見つける
2)逆から考えてみましょう。トランプの枚数が多くなると
特にN=0の計算が複雑になります。逆にN=11、10から
考えていくのです。

たとえば4枚の場合、スペードが1枚目から順番に1,2,3,4と
ある。で、ハートはいろんな組み合わせが考えられる。
N=4の場合はハートも順番どおりで1通りですね。
N=3はありえない。
N=2はN=4つまり順番どおりのうち2つ数字を選択して
ひっくり返せばN=2です。このひっくり返し方は
片方ともう片方をかえるだけの1通り、で選び方は
4個の数字から2個選択だから、4C2*1ですね。
N=1も同じように4個の数字から3個選んで順番を変える
わけです。選び方は4C3ですが、順番の変え方は
例えば123は123、132、213、231、312、321の6通りに
かえられますが、123はそのまま、213と321と132は1個そのまま
なのでN=1に矛盾します。よって（3!-3C3-3C2)なので
並べ替え方は2通り。よって4C3*2=8通り
N=0はその残り。

とやったほうが早そうです。

お礼

ありがとうございます
>まずはN=0の場合が間違っています。
そうなんですか、これは合ってるかと思ったのですが。
No3.にもちょっと書きましたが、正直なところ数学の勉強で質問したわけではなく、トランプで遊んだ時にあまりペアが揃わなかったので、いったいペア数毎の確率はどうなってるのか知りたかった、という事でして。
うーん、自分では答えがでそうもありません。

回答No.3

neKo_deux

> N=1の確率を同じようにやろうとすると
> 1/13・11/12・10/11・9/10.... = 1/13・1/12 となって
> やけに低くなります。

これは、
(1が揃う確率)・(2が揃わない確率)・(3が揃わない確率)....の計算だと思いますが、
N=1になる場合は、1が揃って他がダメな場合、2が揃って他がダメな場合、....
と13通りありますので、さらに13倍します。

N=2の場合、1と2が揃う場合、1と3が...と、コンビネーションを使った計算になっていきます。

--
まずは、
スペードの1-3のセットとハートの1-3のセットから
などと少ない枚数から考えてみては？

お礼

ありがとうございます。
考え方がわかりました。ただ、、
実は学校出てから３０数年のおやじでして
組み合わせの計算とかすっかり忘れています。
虫のいい話とは思いますが式か答えを教えて
いただけると助かるのですが

回答No.2

ymmasayan

これはなかなか一筋縄ではいかない問題ですね。

確かに１２組揃う確率はゼロです。
それも１２組の時だけですね。
これを確率計算で表現するのは相当難しそうです。

専門家または詳しい方の回答を待ちましょう。

お礼

ありがとうございました.
やっぱり難しそうですね．

回答No.1

hiro51hiro51

確率の計算はあまり詳しいほうではないですが、
少なくともN=12のときはゼロではありませんよ。
確かにゼロに限りなく近いですが・・・。
N=13の場合もあります。
その確率は1/13!（!は階乗）です。たぶん。。。

お礼

お礼はこちらでしたね。
ありがとうございました

補足

ありがとうございます。
１２組揃うと残りの１組は必ず揃っている
ので結局１３組揃うことになってN=12はありえない
という事になると思うんですけど。