わかんない。助けてちょ。

質問

下の表に、奇数を順々に並べていく。　　　　　　　　　　
（１）ｎ行目の左端の数をｎの式で表せ。　　　　　　　　　　
（２）１９８７は何行目の左端から何番目にあるのか。　　　
（３）１９８７がある行にある数の総和を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　３　５
　　　　　　　　　７　９　１１
　　　　　　　　１３　１５　１７
　　　　　　　１９　２１　２３　２５
　　　　　２７　２９・・・・・・・・・・
　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・

回答No.5

taropoo · ベストアンサー

既にいくつか答えが出されているようですが、
考え始めた時は０だったので書いてしまいました。
せっかくなので載せさせて下さい。

(1)
ｎ行目の左端の数の数列を{N_n}と置くと、
第ｍ行にはｍ個の数があり、隣り合う数の差は２なので
　　　　N_n+1 = N_n + 2n
よって
　　　　N_n = N_n-1 + 2(n-1)
　　　　　　= N_n-2 + 2(n-2) + 2(n-1)
　　　　　　= …
　　　　　　= N_1 + 2Σ{_k=1~n-1} k
　　　　　　= 1 + 2 * (n-1)n / 2
　　　　　　= n^2 - n + 1　　　　←（答え）

(2)
1987がm行目にあるとすると次の不等式が成り立つ。
　　　　n^2 - n + 1 ≦ 1987 < (n+1)^2 - (n-1) + 1　　　　…(A)
ここで
　　　　x^2 - x + 1 = 1987 (x > 0)
とすると２次方程式の解の公式から
　　　　x = (1 + √1945) ≒ 45.06…
実際、
　　　　45^2 - 45 + 1 = 1981
　　　　46^2 - 46 + 1 = 2071
であるから不等式(A)を満たすmは
　　　　m = 45
即ち1987は45行目にある。45行目は
　　　　1981, 1983, 1985, 1987, …
なので
　　　　1987は４５行目の左から４番目にある。　　　　←（答え）

(3)
m行目の数の和は
　　　　(m^2 - m + 1) + {(m^2 - m + 1) + 2 } + … + {(m^2 - m + 1) + 2(m-1)}
　　　　= m(m^2 - m + 1) + 2Σ{_k=1~m-1} k
　　　　= m(m^2 - m + 1) + (m-1)m
　　　　= m^3
よって1987のある45行目にある数の総和は
　　　　45^3 = 91125　　　　←（答え）

補足

御名答です。
この問題は、昭和６２年東京理科大の入試問題です。