微分方程式

質問

次の3つ微分方程式はどのように解けばよいのですか？
出来ればそれぞれの微分方程式の名前も教えてください
（1）y'=(1+x+3y)＾2
（2）(x＾2+y＾2-a)(x+yy')=2xy(y-xy')
（3）2xy＾2y'+y+y＾3=2(1+y＾2)y'

回答No.2

noname#2380

初めまして。blue_monkeyと言います。
(3)の微分方程式について考えてみましたので、ご参考までの記述させていただきます。
************************************************************
************************************************************
(3)の微分方程式を以下のように記述させていただきます。

2*x*y*y*(d/dx)y+y+y*y*y=2*(1+y*y)*(d/dx)y (1)

(1)の微分方程式を解くため以下の関係式に注意します。

y*(d/dx)(x*(1+y*y))=y+y*y*y+2*x*y*y*(d/dx)y (2)

(2)式を(1)式の左辺に代入すると、

y*(d/dx)(x*(1+y*y))=2*(1+y*y)*(d/dx)y 　　(3)

y≠0として、(3)式の両辺をyで割りますと、

(d/dx)(x*(1+y*y))=2*(1+y*y)/y*(d/dx)y 　　(4)

(4)式の左辺をじっとにらむと、左辺は(5)式で表現できることがわかります。

(d/dx)(2*(ln(y)+y*y/2)) (5)

(5)式を(4)式の右辺に代入すると

(d/dx)(x*(1+y*y))=(d/dx)(2*(ln(y)+y*y/2)) (6)

(6)式をxについて積分すれば、微分方程式の解は、(7)のように求まります。

x*(1+y*y))=2*(ln(y)+y*y/2)+C0 (7)

C0は積分定数で任意の定数です。

微分方程式の名前については、わかりません。ゴメンナサイ。

誤記、誤計算、誤解がありましたらゴメンナサイ。