分割合同

質問

任意の多角形は三角形に分割できることと、任意の長方形は与えられた長さの1辺をもつある長方形と分割合同であることを示しなさい。
というある数学の本に書いていたのですが、図では書けるのですが、文に示す事ができません。どのような方向性で書けばいいのでしょうか？

回答No.1

mild_salt · ベストアンサー

三角形分割については（ある種の）帰納法を用いて以下のようにすることになるかと思います.
1. 任意の三角形は三角形分割可能
2. 「n以下の任意のkについて, 任意のk角形は三角形分割可能」ならば「任意のn+1角形は三角形分割可能」
問題は2ですが, 次のところまで頑張ってみました. これを「図を使っていない」とできるか否かは甚だ疑問ですが, 参考になれば幸いです.

まず, 凸n+1角形の場合は, 任意の隣接しない二頂点を結べば, n以下の辺を持つ二つの多角形に分割されますので, 帰納法の仮定が使えます.
それ以外のとき, n+1角形Gの頂点で, 内角が180度以上の点Pとそれに隣接するQ, Rを考え, さらにQに隣接するP以外の点をQ', Rに隣接するP以外の点をR'とします. Gの辺上の点のうち, Q'からR'までの部分でPを含まない側をCとします（四角形の場合は, Cは一点Q'=R'）.
C上の点Xのうち, 線分PXが端点を除いてGの内部に含まれるようなものを, 「点XはPから見えている」と呼ぶことにします. このとき,
「C上の点P'で, Pから見える点が存在する」(*)
ことがわかります. これを証明してみます.

半直線PQ, PRに挟まれる部分のうち, GのPにおける内角を含む方をDとすると, 必ずCとDの共通部分が存在します（しなければ多角形が閉じない. PにおけるGの内角が180度以上, に注意）ので, これをEとします. Eの点が全てPから見えないとすると, それを「隠している」のは, 4辺Q'QPRR'の端点Q', R'を含まない部分, ということになりますが, Q'QとRR'は交差しませんのでこれは不可能です. よって, EにはPから見える点P'が存在します.

(*)がわかれば, あとはPP'を結んだ線分によってGを分割すれば, P'がC上の点より, 分割された二つの部分はそれぞれ辺数n以下の多角形となります.