円の方程式など

質問

やっぱり自分では解けませんでした。

１、次の条件をみたす円の方程式を求めよ。
(1) 3点(0,1),(2,3),(-1,2)を通る

２、次の円の方程式を求めよ。
(1) 中心が直線 y=-x+5上にあり、原点と点(-1,2)を通る円

(2) 2点(0,1),(1,8)を通り、x軸から長さ6の線分を切りとる円
　　（ただし、中心が第一象限の円）

３、次の円と直線の位置関係（異なる2点で交わる、接する、共有点がない）を
　　調べ、共有点がある場合は、その座標を求めよ。
(1) x＾2＋y＾2=4,x-y=2√2　　

４、円 x＾2+y＾2=4と直線y=mx+4について、次の場合の定数mのとりうる値の
　　範囲を求めよ。
(1)　異なる2点で交わる
(2) 共有点がない

　よろしくお願いします。

回答No.7

taropoo · ベストアンサー

夏休み半ばなのに頑張ってますね。応援します。

１．
点に記号をつけます。Ａ(0,1),Ｂ(2,3),Ｃ(-1,2)とします。
まず中心を求めます。直線ＡＢは例の２点を通る直線の方程式より
　　　　3(x - 1) = (2 - 1)(y - 0)
整理して
　　　　y = 3x - 3
ですから、ＡＢの中点(3/2, 3/2)を通り直線ＡＢに垂直な直線は
　　　　y - 3/2 = -(1/3)(x - 3/2)　　　　…(a)
一方、直線ＡＣの方程式は
　　　　2(x - 1) = (-1 - 1)y
即ち
　　　　y = -x + 1
なのでＡＣの中点(0, 1)を通り直線ＡＣに垂直な直線は
　　　　y - 1 = x
即ち
　　　　y = x + 1　　　　…(b)
３点ＡＢＣを通る円の中心はＡＢの垂直２等分線とＡＣの垂直２等分線の交点なので、
(a),(b)を連立方程式として解いた解となります。(b)を(a)に代入して
　　　　x + 1 - 3/2 = -(1/3)(x - 3/2)　　∴x = 3/4　　　　…(a')
(a')を(b)に代入して
　　　　y = 3/4 + 1 = 7/4
よって中心はＭ(3/4, 7/4)となります。
後は半径を求めるだけです。半径は
　　　　ＡＭ = √{(1 - 3/4)^2 + (7/4)^2} = √(50/16)
よって求める円の方程式は
　　　　(x - 3/4)^2 + (y - 7/4)^2 = 50/16　　　　…（答え）

２．
(1)
原点と点(-1, 2)を通る直線の方程式は
　　　　y = -2x　　　　…(a)
よって原点と点(-1, 2)の中点を通り直線(a)に垂直な直線は
　　　　y - 2 = (1/2)(x + 1)　　　　…(b)
円の中心は直線(b)と直線
　　　　y = -x + 5　　　　…(c)
の交点なので式(b),(c)を連立方程式として解くと、(c)を(b)に代入して
　　　　-x + 5 - 2 = (1/2)(x + 1)　　∴x = 5/3　　　…(b')
(b')を(c)に代入して
　　　　y = -5/3 + 5 = 10/3
よって中心はＭ(5/3, 10/3)。
半径は中心と原点Ｏ(0, 0)との距離なので
　　　　ＯＭ = √{(-5/3)^2 + (10/3)^2} = √(125/9)
よって求める円の方程式は
　　　　(x - 5/3)^2 + (y - 10/3)^2 = 125/9　　　　…（答え）

(2)
Ａ(0,1),Ｂ(1,8)とします。
直線ＡＢの方程式は
　　　　7x = y - 1, y = 7x + 1
これに垂直でＡＢの中点(1/2, 9/2)を通る直線は
　　　　y - 9/2 = -(1/7)(x - 1/2)
整理して
　　　　y = -(1/7)x + 32/7
円の中心をＭ(x0, y0)とすると点Ｍはこの直線上の点なので
　　　　y0 = -(1/7)x0 + 32/7　　　　…(a)
　　　　（但し第１象限なので、x0 ≧ 0, y ≧ 0）
点Ｍからｘ軸上に下ろした垂線の足を点Ｎとし、切り取られた線分をＰＱとすると
点Ｎ，Ｐの座標はＮ(x0, 0), Ｐ(x0 -3, 0)となります。
線分ＡＭと線分ＰＭはともに半径に等しいのでＡＭ = ＰＭ（どこかで聞いたような…）、よって
　　　　3^2 + y0^2 = x0^2 + (y0 - 1)^2
整理して
　　　　x0^2 - 2y0 - 8 = 0　　　　…(b)
式(a),(b)を連立方程式として解く事により円の中心の座標が得られます。
(a)を(b)に代入して
　　　　x0^2 - 2{-(1/7)x0 + 32/7} - 8 = 0
整理して
　　　　7x0^2 + 2x0 - 120 = 0
　　　　(x0 - 4)(7x0 + 30) = 0
x0 ≧ 0 より
　　　　x0 = 4　　　　…(b')
(b')を(a)に代入して
　　　　y0 = -(1/7)*4 + 32 /7 = 4
よって円の中心の座標はＭ(4, 4)と求まりました。半径は
　　　　ＡＭ = √{(4 - 0)^2 + (4 - 1)^2} = 5
ゆえに求める円の方程式は
　　　　(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 25　　　　…（答え）

３．
円
　　　　x^2 + y^2 = 4　　　　…(a)
と直線
　　　　x - y = 2√2　即ち　y = x - 2√2　　　　…(b)
との関係は、式(a),(b)からx, yのどちらかを消去して得られる２次方程式の判別式Ｄによって決まります。
即ち、Ｄ>0のとき２点で交わり、Ｄ=0のとき接し、Ｄ<0のとき共有点を持ちません。
(b)を(a)に代入して
　　　　x^2 + (x - 2√2)^2 - 4 = 0
　　　　2x^2 - 4√2x + 8 - 4 = 0
　　　　x^2 - 2√2 + 2 = 0　　　　…(c)
この判別式は
　　　　Ｄ = (-2√2)^2 - 4*2 = 0
よって円(a)と直線(b)は接します。接点は(c)より
　　　　(x - √2)^2 = 0　　∴x = √2　　　　…(c')
(c')を(b)に代入して
　　　　y = √2 - 2√2 = -√2
よって接点は(√2, -√2)　　　　…（答え）

４．
円
　　　　x^2 + y^2 = 4　　　　…(a)
と直線
　　　　y = mx + 4　　　　…(b)
の関係はやはり判別式Ｄにより決まります。先にＤを求めておきましょう。
(b)を(a)に代入して
　　　　x^2 + (mx + 4)^2 - 4 = 0
　　　　(1 + m^2)x^2 + 8mx +12 = 0
より
　　　　Ｄ = (8m)^2 - 4*12(1 + m^2)
　　　　　　= 16m^2 - 48
　　　　　　= 16(m^2 - 3)
　　　　　　= 16(m + √3)(m - √3)
(1)異なる２点で交わる場合
Ｄ>0となれば良いので
　　　　-√3 < m, m < √3　　　　…（答え）
(2)共有点が無い場合
Ｄ<0となれば良いので
　　　　-√3 < m < √3　　　　…（答え）

例によってミスがあったらゴメンナサイ。

お礼

とってもくわしく教えてくださってありがとうございました。

回答No.6

ume_pyon

再びume_pyonでございます。
先程の記述に誤りがございましたので訂正を。
2(1)y=5xでなく、y=-x+5でしたね。ってことは、中心座標は(a,-a+5)です。

また、2(2)はやっぱ計算がかなり難しいので解答を＾＾；
先程の条件から、以下の3つの式が得られる。
(1) a^2+(1-b)^2=r^2
(2) (a-1)^2+(8-b)^2=r^2
(3) 9+b^2=r^2

(1)-(2)よりr^2を消去して、
(4) a+7b-32=0
また、(1)-(3)よりr^2を消去して、
(5) a^2-2b-8=0
(4)*2+(5)*7より、
(6) 7a^2+2a-120=0
これをたすき掛けして因数分解すると、
(7a+30)(a-4)=0
a>0より、a=4

あとはお任せします。因数分解が難しいですよね。

回答No.5

barbieri

ｍｏｍｏｉさん、今晩は。

素晴らしい回答が寄せられていて嬉しくなりますね。
前回の回答の中に記述の誤りがありましたので訂正します。

1,(1)の説明の中で・・選択して２組の直線を描きます・・・の所は、・・・２組の線分を・・・の間違いです。

間違いましたので、もう１つヒントを差し上げます。
2,(2)これも1,(1)同様に垂直２等分線を式で定義します。
次に「ｘ軸から長さ６の線分を切り取る円」に着目します。Ｂ＞Ａとして
円とｘ軸との交点を点ａ（Ａ，０）、点ｂ（Ｂ，０）とするとＢ－Ａ＝６が成立します。
この点ａ，ｂを結ぶ線分の垂直２等分線上に円の中心があります。
そして第１象限に円の中心があることを忘れないで下さい。

いろんな解法があると思います。私は絵を描いて解いていくのが好きです。
お陰で数式がやたら出来ますけどね。

頑張って下さい。

お礼

たくさんのヒントありがとうございました。

回答No.4

barbieri

前回の回答の中に記述の誤りがありましたので訂正します。

1,(1)の説明の中で・・選択して２組の直線を描きます・・・の所は、・・・２組の線分を・・・の間違いです。

間違いましたので、もう１つヒントを差し上げます。
2,(2)これも1,(1)同様に垂直２等分線を式で定義します。
次に「ｘ軸から長さ６の線分を切り取る円」に着目します。Ｂ＞Ａとして
円とｘ軸との交点を点ａ（Ａ，０）、点ｂ（Ｂ，０）とするとＢ－Ａ＝６が成立します。
この点ａ，ｂを結ぶ線分の垂直２等分線上に円の中心があります。
そして第１象限に円の中心があることを忘れないで下さい。

頑張って下さい。

回答No.3

ryumu

ヒントを・・・

1.（1）は円の一般式、ｘ＾2+ｙ＾2+ａｘ+ｂｙ+ｃ=0　（ａ、ｂ、ｃは定数）に、各点を代入し連立方程式で、ａ、ｂ、ｃを出します。
ざっと計算すると、ｘ＾2　+　ｙ＾2　-ｘ　-5ｙ+4=0　かな？

２.（1）は中心が分かってる場合の円の方程式の一般式を用います。
中心のｘ座標をｔ、とするとｙ座標は5-ｔなので半径をｒとすると一般式は、
　（ｘ-ｔ）＾２　+　［ｙ-（５－ｔ）］＾２　＝ｒ＾２
となり、これが原点（0,0）と（-1,2）を通ることを満たすようにｔとｒを求めます。

2.（2）はようは円がｘ軸と２回交わるということで、その一つの座標を（ｋ、0）とおくと、もう一つは（ｋ+6，0）を通るということです。
つまり、求める円は、４点（0,1）、（1,8）、（ｋ,0）および（ｋ+6,0）を通ると言うことです。1.（1）の円の一般式に、これらを代入すると、ａ、ｂ、ｃ、ｋの４元連立方程式になります。式は４つ出来るので解けるはずです。

3.（1）は図を描きましょう。
円は、原点を中心に半径2の円ですね。
後は直線を書いてみましょう。

豆知識・・・一般に、

　ｘ／ａ　+　ｙ/ｂ　=1

という形で表される直線は、ｘ軸の（ａ、0）という点と、ｙ軸の（0,ｂ）を通る直線です（もちろん、ａもｂも０ではないのが条件です）。
したがって、今回の直線の場合は、

　ｘ/（2√2）　+　ｙ/（-2√2）　=　1

と表せますので、二点（2√2,0）、（0,-2√2）を通る直線と言うことになります。

さて、図を描くと円と直線は一転で接しますね。
これはわざわざ方程式を解かずとも、図形問題として、接点は（√2,-√2）であることがわかります・・ね？（大丈夫ですか？？）

4.も3.の応用として図を書くことでも解けると思いますが、点と直線の距離を求めるヘッセの公式がありますよね？
4.（1）では異なる２点で交わることから、円の中心と直線の距離の絶対値は半径２未満である、ということから得られます。
4.（2）では、交わらないということから円の中心と直線の距離の絶対値は２より大きいということになります。
・・・・ヘッセの公式は習いますよね？？？
習わないのであれば・・・他の人の解法がいいのかな・・

お礼

たくさんのヒントどうもありがとうございました。ヘッセの公式はたぶん習ってないと思います。

回答No.2

ume_pyon

やはり私もヒントだけ。

まず、円の方程式の考え方の鉄則。
その1
『円の方程式といったら、(x-a)^2+(y-b)^2=r^2あるいはx^2+y^2+lx+my+n=0を使って解け。
3点が与えられている場合は後者、それ以外はたいてい前者を用いる。』
その2
『共有点といってまず考えるのは、2つの式を連立せよ。その結果できあがる二次方程式に
ついて、判別式Dを考えよ。それが、D>0なら共有点は2個、D=0なら1個、D<0なら0個。』

とまあ、鉄則だけならこのくらいです。これだけを頭に入れれば、大抵の問題はできます。
要は、どうやってこの鉄則に帰着させるかってことです。そればかりは問題慣れをするしか
ありません。

１．
多分教科書には載っていると思うのですが。私がかつて使用していた学校指定の教科書には
載っていましたよ。
一般に、３点が与えられていて、それから円の方程式を求めるには、
x^2+y^2+lx+my+n=0
という一般式に代入すれば解けます。
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
でも解けますが、これでは計算が難しくなります。

２．
(1)要は、円の方程式
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
をどう考えるかです。それが円の方程式を解く一番のポイントです！

この場合、中心がy=5xの上にあるのですから、中心座標は(a,5a)となるはずですよね。
ってことは、b=5aですよね。あとは残る2点を代入して連立方程式を解けばよいのです。

(2)これは応用問題で、多少頭を使わないとできませんね。そこで、どこに目をつけるかを
考えます。まず、2点が与えられている時点で、これらを円の方程式に代入すれば、2つの式が
できますよね。
次に長さ6をどう使うか。だったら、実際に図を書いてみましょう。図を書くのは、関数の問題の
大鉄則です！！

そこで、実際に中心からx軸に垂線を下してみましょう。そうすると、斜辺がr、底辺が3、
高さがbの直角三角形が作図できますよね。「直角三角形」といえば？これにより、
合計3つの式ができます。あとはそれらを連立して解けばよろしいです。
なお、この連立方程式は多少骨が折れる計算ですので要注意。ヒントは、r^2を消去して
計算することです。そうすると、なんとか計算ができます。

ちなみに、これに関してはたしかもっとよい解き方があったような気がしますが、
忘れちゃいました。スイマセン。

３．
「交点(共有点)を求めよ」＝「連立方程式を解け」
これだけです。そうすると、y=x-2√2より、おそらく
x^2-2√2x+2=0
という二次方程式ができあがると思います。これを解の公式で解いてみて下さい。

４．
「共有点といえば、判別式Dを思い浮かべよ！！」これが鉄則。
判別式D=b^2-4ac>0なら、共有点は2個、D=0なら1個、D<0なら0個です。本問の場合、
連立方程式で解くと、
(1+m^2)x^2+8mx+12=0
という二次方程式が得られます。a=1+m^2,b=8m,c=12です。

(1)共有点が2個←→D>0
これを解けばよいのです。
ちなみに、二次不等式の解き方は覚えていますか？わからなければ補足して下さい。多分、
他の方が計算して下さると思いますが＾＾；

(2)省略します。(1)ができれば(2)もできるでしょう。

ここで、「共有点とは何ぞや？」と思われましたら、以下をお読み下さい。
試しに、
ax^2+bx+c=0
という二次方程式の解について考えましょう。
x=(-b+√(b^2-4ac))/2,x=(-b-√(b^2-4ac))/2,

という2つの解ができますよね。関数においては、この解が共有点、つまり交点ですよね。
じゃあ、このxの値について考えてみましょう。ポイントはルートの中身です。
もし、ルートの中身が0だったら、xの解って1つだけですよね。計算してみれば一目瞭然です。
また、ルートの中身がマイナスってことはありえないはずです。だって、それがルートの
定義でしたからね。（複素数を無視すれば）ってことは、この状態では解がないのです。

で、このルートの中身b^2-4acって何か？これがまさしく判別式Dに相当するのです。
だから、もし「共有点の座標を求めよ」という問題でなく、共有点の数を調べよ、といわれたら、
単にこのルートの中身、つまり判別式Dを考えればよいのです。
いってしまえば、判別式Dとは、「解の数を判別する式」なのです。

回答No.1

barbieri

momoiさん、こんばんは。

全部をこの場で回答するのは大変ですので、ヒントだけ少しばかり書いておきますね。
1,(1)３点の中から２点を選択して２組の直線を描きます。その線に対する垂直２等分線をＹ＝ＡＸ＋Ｂ、Ｙ＝ＣＸ＋Ｄの連立方程式にすればＸ，Ｙが求められます。
そこが円の中心です。後は簡単ですよね。
2,(1)中心を（Ａ，Ｂ）と仮定してそこから原点、及び点（－１，２）迄の距離を式で表し、その２つの式の値が同じ（同距離）になったところが円の中心です。

残りは他の方にアドバイスを貰って下さい。