放物筒座標系について

質問

放物筒座標系ParabolicCylindricalで
ｘ＝ξηｃｏｓφ，
ｙ＝ξηｓｉｎφ，
ｚ＝１／２（ξ＾２－η＾２）
のｇｒａｄ，Ｌａｐｌａｃｉａｎ
を教えてください。
よろしくお願いします。
また、簡単な導出の仕方がありましたら
教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

直交曲線座標の第一基本量を使った一般的表現を求めておいてから，
基本量を具体的な座標について求めるのが簡単でしょう．
ベクトル解析の本の直交曲線座標のあたりをご覧下さい．
今手元にある本では，裳華房「大学演習　ベクトル解析」の第１４章など．

上の一般的表現というのは
grad f = (1/h_1) (∂f/∂u_1) e_1
　　　　　+ (1/h_2) (∂f/∂u_2) e_2
　　　　　+ (1/h_3) (∂f/∂u_3) e_3
のような式のことです．

直接やるのなら
∂f/∂x = (∂ζ/∂x) (∂f/∂ζ)
　　　　　　+ (∂η/∂x) (∂f/∂η)
　　　　　　+ (∂φ/∂x) (∂f/∂φ)
などを繰り返し使うのでしょうけれど．

なお，ご質問の座標は回転放物面座標というのが普通と思います．
放物柱座標，あるいは放物筒座標は
x = (1/2)(u^2-v^2)
y = uv
z = z
の (u,v,z) を指すのだと思います．

回答No.5

siegmund

siegmund です．Rossana さん，こんにちは．

> これはz=(1/2)(η^2-ξ^2)の間違いではありませんか？？

x にも y にもηとξは積の形ηξで含まれているのみですから，
z の式でηとξとを取り替えても同じことです．

ベクトル e_1 を (e_1→) のように書くことにします．
q_1 の変化にともなう(q_2,q_3 は固定)位置ベクトル (r→) の変化割合は
∂(r→)/∂q_1 ですから，これを単位ベクトルにしたものが
直交曲線座標の基本ベクトル (e_1→) です．
単位ベクトルにするためには，変化割合の絶対値 |∂(r→)/∂q_1| で割れば
よいわけで，この絶対値を
h_1 = |∂(r→)/∂q_1|
と書いています．Rossana さんの |(∂/∂q_j)(x,y,z)| と同じことです．
書き直せば
∂(r→)/∂q_1 = h_1 (e_1→)
となっています．
こういう理由で，Rossana の言われるように計量係数などと呼ぶのでしょう．

Rossana さんの方針がもっとも明快，簡潔，しかも一般性があると思います．

> という風に実に簡単に表わせることを発見しました．
> これは物理学を専攻されている方々にとっては当たり前に知られたことかもしれませんが，

ベクトル解析の本にはよく書いてあるようです．

お礼

丁寧にどうもありがとうございました。
助かりました！お二方で議論していただきとても参考になりました。

回答No.4

Rossana

さらに調査いたしました．放物筒座標系の図形的なことは分かりませんが，式に関しては#2の時点より分かった事があります．
Aya24-7さんは
＞ｚ＝１／２（ξ＾２－η＾２）
とされていましたが，これはz=(1/2)(η^2-ξ^2)の間違いではありませんか？？
今回はsiegmund先生のおっしゃられたh_jの具体的な計算方法に関して言及します．
h_jは『計量係数（尺度係数）』とか『スケール因子』と呼ぶようです．
より簡単なベクトルの絶対値として計算する方法がありました．#2で言った計量係数h_jは
h_j≡√h_jj)＝√{(∂x/∂q_j)(∂x/∂q_j)＋(∂y/∂q_j)(∂y/∂q_j)＋(∂z/∂q_j)(∂z/∂q_j)
＝√{(∂x/∂q_j)^2＋(∂y/∂q_j)^2＋(∂z/∂q_j)^2}
＝|(∂/∂q_j)(x,y,z)|
という風に実に簡単に表わせることを発見しました．これは物理学を専攻されている方々にとっては当たり前に知られたことかもしれませんが，自分にとっては新たな発見でした．
q_1=ξ,q_2=η,q_3=φとすると，
h_1=|(∂/∂q_1)(x,y,z)|=|(∂/∂ξ)(ξηcosφ,ξηsinφ,(1/2)(η^2-ξ^2)|=|(ηcosφ,ηsinφ,-ξ)|=√(η^2+ξ^2)
h_2,h_3についても同様の計算を行えばいいでしょう．
もっと最善の方法がございましたらご指摘下さい．

お礼

丁寧にどうもありがとうございました。
助かりました！お二方で議論していただきとても参考になりました。

回答No.3

siegmund

siegmund です．
Rossana さんが私の回答をもっとちゃんと記して下さいました．
あ，もちろん，私とは独立に書かれたのはわかっています．

質問の回転放物面座標も直交曲線座標です．
h パラメーターは
h_1 = h_2 = √(ξ^2+η^2)
h_3 = ξη
になっています．

回答No.2

Rossana

＞放物筒座標系ParabolicCylindricalで
僕にとっては初めてお聞するものであり，どんなものかも存じ上げませんが，自分の知っている範囲でアドバイスします．直交曲線座標系なら以下の事柄が成立します．直交曲線座標系でなかったらすいませんが，これらの事柄は役に立ちません．

h_(jk)≡(∂x/∂q_j)(∂x/∂q_k)＋(∂y/∂q_j)(∂y/∂q_k)＋(∂z/∂q_j)(∂z/∂q_k)=0
(今の場合q_1=ξ,q_2=η,q_3=φとでもなるのかな…．)
が成立すれば，q_1曲線，q_2曲線，q_3曲線は各点で直交し，(q_1,q_2,q_3)を座標として点を表わす時，これを「直交曲線座標系」と言います．

h_j≡√h_jj (j=1,2,3)
を導入すると，直交曲線座標系では一般に

grad f=(1/h_1)(∂f/∂q_1)e_1↑＋(1/h_2)(∂f/∂q_2)e_2↑＋(1/h_3)(∂f/∂q_3)e_3↑

Laplacian △=(1/h_1h_2h_3){∂/∂q_1(h_2h_3/h_1・∂f/∂q_1)＋∂/∂q_2(h_3h_1/h_2・∂f/∂q_2)＋ ){∂/∂q_3(h_1h_2/h_3・∂f/∂q_3)}

となります．
例えば，円筒座標系
x=rcosφ，y=rsinφ,z=zでは
h_1=1，h_2=r，h_3=1
です．