電気的エネルギー保存則について

質問

(CV^2)/2 + (LI^2)/2=(一定)についてなのですが、
交流回路（電気振動の問題です)において、IのMAXを求めるときにはQ=０として考える問題なのですが、
この（一定）について、起電力Eの電池が電気容量Cのコンデンサーにはじめ仕事をしますよね。この電池の電気的エネルギーが（CE^2）/２になる理由がわかりません。
電池の仕事は（起電力）×（電池を通る電荷）ですよね。これを０からQまで積分するから∫ｑ・E・ｄｑを積分して（EQ^2）/2になると思うのですが。

何を調べても（CE^2）/２＝(CV^2)/2 + (LI^2)/2
としか書いておらず、じぶんがどこを勘違いしているのかわかりません。指摘してください。
高３です。

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

コンデンサの電荷qと電圧vの関係は v=q/C ですから、図のように単純な直線関係です。

　電|　　　　　　電圧=電荷/C
　圧| 　 　 　 ／
　　｜　　 ／
　　│　／
　　 |／
　￣|￣￣￣￣￣ 電荷

　実際の回路中で、電荷が0からQまで溜まっていく波形は exp(-t/T) とか sin(ωt) とか 様々で複雑ですが、この平面上では それらすべての場合が 単純な直線 v=q/C です。

　いっぽう、

　　　電圧と電荷の積はエネルギです。

そのわけは、そもそも電圧（電位）の定義が「電界中に居る電荷のポテンシャルエネルギ」そのものとして決めたものだからです。
すなわち 静電エネルギ=電荷×電圧 です。これは上図では縦軸×横軸だから 面積として現れてます。
　これによって、
コンデンサに 電荷が0からQまで溜まって 電圧が0からEになるプロセスで移動するエネルギは、図では三角形の面積（底辺×高さ/２）であることが分かります。
すなわち、

　　充電されたエネルギ = QE/2 = (CE^2)/2

と求まりました。（ 最後は Q=CE を使いました。）

　余談；
　電源からコンデンサに至る途中にあるものが、抵抗、インダクタンス、他のコンデンサ、ダイオードやトランジスタのような非線形抵抗、いずれの場合も上記のようになます。　それらを電荷が通るとき、それらに電圧が発生すれば 上記の「電圧と電荷の積はエネルギです」の通りのエネルギが それらに蓄積あるいは消費されます。それらから電磁波輻射（光も）や熱伝導で出て行けば帰って来ません。
　次に、超伝導なら電気抵抗はまさに0です。しかしその場合も、配線は電源からコンデンサに行って電源に戻るループをなしており、この幾何学的な配線そのものがインダクタンスを有しますから、それでお話を構成すればカバーできます。
　いっぽう、
伝統的な電気回路学では、「素子の間を結ぶ線は なんの作用もしない」と定義されてるので、そこには抵抗も上記のインダクタンスも無いことになってます。「回路から外界への電磁波の出入りも無いものとする」と最初の最初に取り決めてます。これを守れば 今の現象の説明ができません。
そこで、ダブルスタンダードを回避するために、例えば 電圧源とコンデンサ、コンデンサとコンデンサの接続を扱う場合は「強制退化」という名の 用途限定な定義 を用意してあって、途中経過を論ぜず (CE^2)/2 を天下り的に使用することにしてます。ゆえに、あなたがいろいろ調べて遭遇したように いきなり出発式として書かれてるのです。

回答No.1

foobar

コンデンサニ電池から電荷dQを送るときに、
1. コンデンサに対して行われた仕事は、VdQです。(Vはコンデンサの端子電圧、Q/Cで変化します)
2. これに対して電池がする仕事は、EｄQです。（Eは電池の起電力で一定)
1と2に差があります（(E-V)dQ）が、この差は電池とコンデンサを結ぶ電線の抵抗での損失になっています。（電池はエネルギーを供給しているが、その部分は抵抗で熱に変わって、コンデンサには溜まらない)

きちんと、積分計算すると、(コンデンサの容量が変わらなければ)電池から送られたエネルギーの半分がコンデンサにたまり、残り半分が熱になっています。

と、こんな説明で如何でしょうか。

お礼

質問が間違えていまして、仕事を積分する必要はないです。EdQで成立しますね・・・

静電エネルギーから求まることに気づかずに質問してしまいました。

導線内の抵抗は無視　ってのが普通だと思ってましたので、導線からのジュール熱を考えるとは知りませんでした。ありがとうございました。