おぼえていますか？あの問題です。

質問

何日か前にこの質問コーナーで質問したのですが、ご無体にも消されてしまったあの問題を復活させるぞ。がんばって解いてたも。

問題
同一平面上に４点Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｐがあります。
点Ａ．Ｂ．Ｃから点Ｐにむかって線分をひくとき
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にするには点Ｐはどこにあればよいか。

響子さん、じゃなくて管理人さんへ
今度はまじめにやります。消さないでください。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

めげん奴っちゃな。

線分AP, BP, CPが１２０度で交わる様な点P。ただし、三角形ABCの内角のうちで120度以上のものがある場合には、その頂点上にPを置く。

証明は要求してないですね。ご自分でやってたも。

お礼

ありがとうございます。
証明を要求します。

回答No.8

motsuan

点ＰがＡでもなくＢでもなくＣでもなければ
単位ベクトルで、それが３つ集まって０になるという条件（☆）を
満たしているはずですよね。しかも、その点は必ず三角形の中にある。
（そうでなければ、短い２辺を結んだほうが短くなる。）
ということは三角形のどっかの角度が１２０度より開いちゃうと
そもそもそういう風なベクトルをとれなくなっちゃって
（図を書けば分かります）
結局、stomachmanさんのおっしゃるような頂点が点Ｐになってしまう
（三角形の中にはそんな条件を満たす点がないから）。

それにしても、方針もたっていて、問題設定もできれば、
ほとんど解けたようなものだと思うのですが・・・
最近はいろいろＤＶＤ化されていて、見るのも大変でしょう。

２変数関数(どういう曲面なのかなあ)の問題というのは
陰関数として表せれればいいということですよね。
一番簡単なのは（☆）を変形すれば良いのではないでしょうか？

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。あとは自分でもできるとおもいます。

予定どおり、８月２日午後１１時５９分にこれを閉じます。
皆さんどうもありがとうございました。

回答No.7

motsuan

newytypeさんが最初に書かれていたように
ベクトル解析を使えばいいんじゃないでしょうか？
p=(px,py), a=(ax,ay)でベクトルp-aの長さ|p-a|のpについての勾配は
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=111144
にあるように、(p-a)/|p-a|ですよね。
これは単位ベクトルで、それが３つ集まって０になるというと・・・
そうすると１２０度を越えちゃうとこのままじゃだめ
というのもわかりますよね？

距離の2乗の和であれば、重心として簡単に求まるんでしょうが、
解析的に座標を与えることってできるのでしょうか？

それにしても、響子さんとは。

お礼

六行目；１２０度です。
７、８行目； 何が駄目なんですか？
１０、１１行目；点Ａ（－ａ，０），点Ｂ（ａ，０），点Ｃ（ｂ．ｃ），
点Ｐ（ｘ，ｙ）として、距離を求め、Ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ)
の２変数関数(どういう曲面なのかなあ)の問題としました。
さて、どうでしょう。
１３行目；あなただけです。私のおふざけに付き合ってくれる人は。
どうもありがとう。

回答No.6

nozomi500

消されていたのですね。
シャボン膜については、以前、「秋山仁」さんがTVで実演されていました。みどとに１２０度になっていました。

針金（石鹸になじむように糸を巻いてある）でつくった三角柱を石鹸液にしずめて持ち上げると、表面張力によって膜の面積が最小になろうとします。最初の瞬間には、三角柱の５面に膜ができます（実際にはできていない）が、それよりも、内側にへこんだ形のほうが面積が小さいので上下の底面、３つの側面がそれぞれへこんだ、（それぞれの辺から三角形と台形が内側にのびる）形になります。

（三角柱に高さがないと、上下の三角形がくっついちゃうから、側面からの膜どうしがくっつかない）
側面からの膜同士は１２０度になってました。（目測ですが）

計算は、根性出してやれば高校１年レベルでもできるんじゃないですか？（座標を作って、ピタゴラスの定理使って・・）

お礼

ありがとうございます。
自分でもやってみます。

回答No.5

taropoo

石鹸水が作る膜って制限の中で面積を最小限にする形になるんですよね。
円筒の骨組みだけにして石鹸水から持ち上げると懸垂線の回転体になったり。
でくっついちゃうとパーンってはじけちゃうんですけど。水の科学館でやりました。

で、言いたいのは、同じように三角柱を石鹸水から持ち上げると、三角柱に高さが十分あれば
上と下で立体角πの部分が出来てその間は台形が３枚、短辺を共有している。
それを上から見ると三角形の各点から内部の点へ直線を引いた形になっていて
その３本の直線のなす角はそれぞれ2/3π。

上から見ると言う事は３次元を２次元に落としているので面積は長さに置換えられ、
三角形の各頂点から内部の点へ３本の直線を引いた時、その長さの和が最小になるのは
その３本の直線のなす角がそれぞれ2/3πとなると言えます。

数学的証明にはなっていませんが、感覚的に捉えるには良い例だと思いますが。

お礼

卿の意見には聞くべき点があるやもしれん。
だが私にはいささか感覚的すぎてよくわからない。
私にもわかるように具体例をあげて説明してほしい。
とくに５行目から９行目までのところをである。
本当にそうなるのか教えてほしいッッピー。

回答No.4

yacob

stomachmanさんが、回答No.2で申し上げているとおりですが、ご自分で証明できず、お調べになる時の参考に申し上げます。

条件に合う点Pを、 Fermat点　といいます。平面幾何学の最大最小の問題にあります。詳しい幾何の本を調べれば、でている筈です。

御健闘を祈ります。

お礼

ありがとだッピー。

回答No.3

nanashisan

正解出ちゃいましたね。
証明のヒント→楕円の性質

お礼

楕円の性質
２定点Ｆ，Ｆ’に対しＦＰ＋Ｆ’Ｐ＝一定となる点の軌跡を楕円といい、Ｆ，Ｆ’を焦点という。
さて、かんがえるぞー。

回答No.1

redbean

おや、お久しぶり。

これ、極値問題として解こうとすると、式がとんでもなく
長くなってしまうね。なにかいいアイデアで一気に簡単に
なるのだろうか。

極値問題としては、極値が１個の素直な問題だと思ったん
だが．．．

お礼

お久しぶりです。たしか最初に解答してくれた方ですよね。あれからしこしこ計算しようと思ったのですが、できませんでした。むずかしいです。
それは置いとくとしてstomachmanさんができたみたいです。いっしょに分析しましょう。