偶数枚のトランプのシャッフル

質問

この問題は私が高校生の時に「発見」したものですが、いまだに解けなくて困っています。どなたか数学に強い方解いて下さい。できれば、中・高校生にも分かる解法でお願いします。
○偶数（２ｎ）枚のトランプがある。これを前半と後半の２つに分け、１枚ずつ互い違いになるように何回かシャッフルすると、最初にトランプのカードが並んでいた状態に戻るようである。　必ず戻るのか、証明せよ。　もしそうなら、トランプの枚数２ｎと、戻るのに要するシャッフルの回数ｍとの関係はどうなるか。
○少し説明します。
・トランプ６枚のとき
　ＡＢＣＤＥＦ＞ＡＤＢＥＣＦ＞ＡＥＤＣＢＦ＞ＡＣＥＢＤＦ＞ＡＢＣＤＥＦ　で、４回で元に戻ります。最初のカード（Ａ）と最後のカード（この場合はＦ）はその位置が変わりません。２回シャッフルしたときにアンコの部分がちょうど逆転していて、４回で元に戻ることが予想できます。
・トランプ８枚のとき
　ＡＢＣＤＥＦＧＨ＞ＡＥＢＦＣＧＤＨ＞ＡＣＥＧＢＤＦＨ＞ＡＢＣＤＥＦＧＨ　で、３回で元に戻ります。回数は６枚のときより少なくなりました。
・トランプ１０枚のとき
　ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ＞ＡＦＢＧＣＨＤＩＥＪ＞ＡＨＦＤＢＩＧＥＣＪ＞ＡＩＨＧＦＥＤＣＢＪ＞ＡＥＩＤＨＣＧＢＦＪ＞ＡＣＥＧＩＢＤＦＨＪ＞ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ　　で、６回で元に戻ります。このときも、３回シャッフルしたときに中身の部分が逆転しています。
・いろいろやってみると、（１）おおよそ、枚数２ｎが増えるほど、元に戻るまでのシャッフルの回数ｍは増加する傾向がある。（２）しかし、２ｎが２の累乗（４，８，１６・・・）のときには回数が減るようである。　ということは分かっているのですが・・・・。どなたかよろしくお願いします。

回答No.8

motsuan

シャフルを行列 A で表し、ある数 ｋ で
　A^k = 1
であることを、固有多項式
　f(x) = det|xI-A| (I は単位行列、detは行列式）
が因子として x^k-1 を含むとして、示せば良いのかな
（うまく行けば証明できる）と考えました。
（高校生的にいえば
　ハミルトン-ケーリの定理を使って考えてみました）
．．．答えが出ていないので参考までに。

N×N行列 A_{N} の (m, n) 成分 (m,n = 0,1,2,...,N-1) を、
　シャフル前に n 番目にあったカードがシャフルで m 番目に移されるとき = 1
　それ以外 = 0
とします。A_{N} を行列として r 回掛けて、p 列目の成分で q 行目が 1 であれば、
r 回のシャフルで p 番目にあったカードが q 番目に移されることを表します。
具体的には、( m, n ) 成分 a_{mn} を
　a_{mn} = δ( m - 2n - floor(n/ceiling(N/2)) ( mod 2 ceiling(N/2) ) )　・・・（☆）
　（δ(x) は x = 0 のときは 1 それ以外は 0,
　　floor(x) は x を以下の最大の整数,
　　ceiling(x) は x を以上の最小の整数）
とでも表せばいいのでしょう（ちょっとカッコ悪い）。
I_{N} をN×Nの単位行列として、
　f(N,x) = det|xI_{N} - A_{N}|
これをがりがり計算機(Mathematica)で実行すると、
　f(1,x) = x -1, f(2,x) = (x -1)f(1,x) : k = 1
　f(3,x) = (x -1)(x^2-1), f(4,x) = (x -1)f(3,x) : k = 2
　f(5,x) = (x -1)(x^4-1), f(6,x) = (x -1)f(5,x) : k = 4
　f(7,x) = (x -1)(x^3-1)^2, f(8,x) = (x -1)f(7,x) : k = 3
　f(9,x) = (x -1)(x^2-1)(x^6-1), f(10,x) = (x -1)f(9,x) : k = 6
　f(11,x) = (x -1)(x^10-1), f(12,x) = (x -1)f(11,x) : k = 10
　f(13,x) = (x -1)(x^12-1), f(14,x) = (x -1)f(13,x) : k = 12
　f(15,x) = (x -1)(x^4-1)^3(x^2-1), f(16,x) = (x -1)f(15,x) : k = 4
　f(17,x) = (x -1)(x^8-1)^2, f(18,x) = (x -1)f(17,x) : k = 8
　f(19,x) = (x -1)(x^18-1), f(20,x) = (x -1)f(19,x) : k = 18
　 :
となるようです（ｋの値は実際にべき乗をとったときに単位行列になる数、
まとめ方は意図的にｋの値がでるようにまとめています）。
問題にされているのはNが偶数の場合のようですが、
奇数の場合に(x -1)を掛けただけなので
（Nが偶数の場合の最後の１枚は順番が入れ替わらないことを反映しています）、
本質的には奇数の場合を考えればよいと思います。
いまのところ私には規則性が見出せません。

お礼

アドバイスしていただき、大変ありがとうございます。
　むかし勉強したようなことがたくさん書いてあって、冷や汗をかいています。皆さんにお願いするだけでなく、自分も復習くらいはしなければ・・・。
　私、今日から出張でヤマに入りますので、ネットからはずれます。きちんとレスができなくなりますが皆さまよろしくお願いします。