複素積分～フィボナッチ？

質問

大学院入試の過去問です。

『zを複素数とする時、数列x_n(n=0,1,2,..., x_nは実数)に対する変換X(z)を以下のように定義する。
　　　　X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n)
この時以下の問いに答えよ。
(1) |z|>Rの領域において、X(z)は収束するとする。この領域内の原点を含む閉曲線をCとする時、逆変換は
　　　　x_n = (1/2πi) ∫○C X(z) z^(n-1) dz　　　　（∫○CはCを経路とする周回積分記号のつもり。）
となる事を証明せよ。
(2)x_n+2 = x_n+1 + x_n (n=0,1,2,..., x_0=x_1=1)の時、X(z)を求めよ。
(3)前問で求めたX(z)を逆変換する事によって、x_nを求めよ。』

という問題です。(1)は何となくは分かるのですが正しく理解していないので教えてください。
(2)以降ってフィボナッチ数列ですよね？一般項なんてありましたっけ？

よろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

[1]　　　X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n)
の両辺に z^m を掛けて周回積分する．
[2]　　　∫○ X(z) z^m dz= Σ_n=0~∞ x_n ∫○ z^(m-n) dz
右辺で，z=0 が１位の極になっているのは m-n=-1 のときで，
このときだけ留数定理から積分の値がゼロでない．
したがって，[2]の右辺は 2πi x_{m+1} で
[3]　　　∫○ X(z) z^m dz = 2πi x_{m+1}
m+1 を n と書き直して
[4]　　　 x_n = (1/2πi)∫○ X(z) z^(n-1) dz

フィボナッチ数列の一般項については
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=99350
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=86219
の私の回答をご覧下さい．

お礼

返事が遅くなりまして申し訳ありません。
急の仕事が入ってしまいなかなか時間が割けない状況になってしまいましたもので。

(1)に関してはＯＫです。ありがとうございました。
引き続き(2)(3)もお願いします。

回答No.2

motsuan

(2)については
zX(z) = Σx_n z^(-n+1)
z^2X(z) = Σx_n z^(-n+2)
という具合にずらしたとき、係数の間の関係式から再び
X(z)で表すことができるという性質を使うのではないでしょうか？
ｎ→∞のほうは関係なくなるように
変な数列の場合も解析接続してかんがえるのでしょうか？？

お礼

∫○ X(z) z^(n-1) dz = 2πi x_{n}
　　　　∫○ X(z) z^n dz = 2πi x_{n+1}
　　　　∫○ X(z) z^(n+1) dz = 2πi x_{n+2}
から
　　　　∫○ X(z) {z^(n+1) - z^n - z^(n-1)}dz = 0
までは分かったのですが、ここからどうして良いか分かりません。
お助けを。。。