基本対称式

質問

[(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)]^2をx_1,x_2,x_3の基本対称式
s_1=x_1+x_2+x_3
s_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1
s_3=x_1x_2x_3
で表せという問題で、
18s_1s_2s_3+s_1^2s_2^2-4s_1^3s_3-27s_3^2-4s_2^3
となるらしいのですが、
導出方法が全く検討がつきません。
18とか27とか、どっから出てくるんでしょう。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

力技で！！（記号を変えます）
a+b+c=s
ab+bc+ca=t
abc=u
{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
={(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}^2

=a^2b^4+b^2c^4+c^2a^4+2(ab^3c^2+a^2bc^3+a^3b^2c)
+a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+2(a^2b^3c+ab^2c^3+a^3bc^2)
-2(a^3b^3+a^2b^2c^2+a^4bc+ab^4c+b^3c^3+a^2b^2c^2+a^2b^2c^2+a^3c^3)
ここで
a^2b^4+a^4b^2＝(ab)^2(a^2+b^2+c^2)-(abc)^2
ab^3c^2+ab^2c^3＝(bc)^2(ab+bc+ca)-(bc)^3 であることから
与式
=(a^2+b^2+c^2){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}-3(abc)^2
+2(ab+bc+ca){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}-2{(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3}
-2{(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3}-6(abc)^2-2abc(a^3+b^3+c^3)
あとは
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
を使って求められますね。

お礼

ぐわああああ・・・すごい・・・
感動しました。
今ネットカフェなんでノートにとったりプリントアウトができませんが、家に帰って確かめます。

回答No.1

scale--free

展開して計算はできなさそうです。
そこで、次のことに注意します。

[(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)]^2 は x_1, x_2, x_3 の６次の斉次式である、つまり、６次以外の項は現れない。

s_1, s_2, s_3 でつくれる６次式は、
(s_1)^6, (s_1)^4*s_2, (s_1)^3*s_3, s_1*s_2*s_3,
(s_2)^3, (s_3)^2
以外にありません。したがって、３変数の対称式は基本対称式s_1, s_2, s_3で表せますから、a,b,c,d,e,fを定数として、

[(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)]^2
= a*(s_1)^6 + b*(s_1)^4*s_2 + c*(s_1)^3*s_3 + d*s_1*s_2*s_3 + e*(s_2)^3 + f*(s_3)^2

と書けます。あとは、x_1, x_2, x_3 に適当な数を代入して定数a, b, c, d, e, f を決めれば良いでしょう。

お礼

あ、未定係数法ですか・・・その手がありましたね。
まともに式展開してて、うっとうしい式になってうんざりしてたものですから。