BC//ADの台形ABCDにおいて、辺AB、DCを夫々m:nに内分する点をP,Qとする時、PQ//BCとなるか?

質問

[問]　BC//ADの台形ABCDにおいて、辺AB、DCをm:nに内分する点をP,Qとする時、PQ//BCとなるか?

は真になりそうですがどうやって示せるのでしょうか?

回答No.3

funifuni11 · ベストアンサー

#2です。

失礼しました。
先ほどの回答で、
＞BCをm:nに内分する点をRとします。
の部分は、BCではなく、AEの間違いです。
ただしくは、

AEをm:nに内分する点をRとします。

です。

回答No.2

funifuni11

Aを通り、CDに平行な直線を引き、
BCと交わる点をEとします。
BCをm:nに内分する点をRとします。

このとき、三角形ABEと三角形APRは相似になります。
よって、BC//BE//PRが成り立ちます。

一方、四角形AECDは当然平行四辺形になります。
よって、RQ//ECであることもすぐに示せます。

以上より、
PR//RQ//BCが言えます。
これは、Rが直線PQ上にあり、しかも
PQはBCに並行である、ということを表しています。

こんな流れでいかがでしょうか。

お礼

素早いご回答有難うございました。

お陰さまで解決できました。

回答No.1

kony0

△PBC
= n/(m+n) * △ABC
= n/(m+n) * △DBC （AD//BCより）
= △QBC

１辺が共通な三角形の面積が等しいとき、
・P,Qが直線BCに関して同じ側にあるならば、PQ//BC
・P,Qが直線BCに関して異なる側にあるならば、PQとBCの交点をRとしたとき、PR=QR
ということがいえます。

P,Qが直線BCに関して同じ側にあることは・・・自明でいいのかなぁ？（ちょっと自信なし）

平行線と比の証明は、基本的に三角形の面積から示すものと思っています。

お礼

素早いご回答有難うございました。

お陰さまで解決できました。