ベクトルポテンシャル

質問

仕事で、電磁界の計算をすることになりましたが、
専門分野でないため、大学で使用した本をかりましたが、
専門すぎて、内容が理解できません。
基本的なことと思いますが、教えて下さい。

質問１：ベクトルポテンションとは、何ですか？

質問２：マクスウェルの基礎方程式というのがあったんですが、
　　　　式は、
　　　　　　　rot H = J + ∂D / ∂t H:磁界の強さ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　J:電流密度
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D:磁束密度
　　　・rotとは、何ですか？
　　　　計算式であれば、どうやって、計算するんですか？
　　　・∂D / ∂t とは、何ですか？
　　　　計算式であれば、どうやって、計算するんですか？

　　　以上、よろしくお願いします。

回答No.3

noname#2380

問題に対して、puni2氏、brogie氏が回答されていますので、blue_monkeyは、ベクトル解析の記号について蛇足させていただきます。とりあえず読み捨ててください。
(1)　∇=(∂x,∂y,∂z)は、
∇φ(x,y,x)=grad φ(x,y,z)
と記述されていると、心の中では、「ナブラふぁい」、「グラジェエントふぁい」、「ふぁいの勾配」と唱えます。
(2)　∇・（Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z))=div A
と記述されていると、「ベクトルAの発散をとる」、「ダイバージェンスエー」と心の中で唱えます。
(3)　rot (Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z))= rot A= curl A=∇×A
と記述されていると「Aの回転をとる」、「ローテンンションA」,「カールA」と心の中で唱えます。上記の「×」はベクトル∇とAの外積です。ものの本によっては、
rotの代わりにcurlが使われることもあります。
(4)　Maxwell方程式を扱うようになりますと、さらに次のような記号がでてきます。
∇・∇　(Ax,Ay,Az)=△ (Ax,Ay,Az)
これは確か、心の中では「ラプラシアンA」と唱えていたと思います。
△の(∂/∂x)の（偏微分）記号を用いて具体的にどのように表現されるかは、brogie氏の説明を参考に計算してみて下さい。
(5)もうちょっと進むと、
（△-(∂/∂t)(∂/∂t))(Ax,Ay,Az)
という記号がでてきます。この場合、「ロレシアンA」 と唱えたような気がします（C=1としています)。
(6)
D=ε*E:εは誘電率
(7)
B=μ*H:μは磁化率
(8)
いい加減な例題：カーデシアン座標系の場合。
A=(x,y,z)*exp(j*ω*t)
j:虚数単位
ベクトルAは、特に、物理的な意味はありません。

rot A=∇ ×　(y,x,y)*exp(j*ω*t)

=(1,0,0)*exp(j*ω*t)

(∂/∂t)A=j*ω*(x,y,z)*exp(j*ω*t)

となります。

誤記、誤解がありましたらゴメンナサイ。

回答No.2

brogie

電磁気学を勉強するにはベクトル解析は必須です。

電位の傾きに―をつけたものは電界になります。
式で書くと

E　=　- gradV・・・・・・・・・(1)
これを成分にわけて書くと
　　=　-(i∂V/∂x＋j∂V/∂y＋k∂V/∂z)
ただし、i,j,kはx,y,z方向の単位ベクトルです。

rotH　＝　J＋∂D/∂ｔ・・・・・・(2)
この式のｘ、ｙ、ｚ成分はそれぞれ

∂Hz/∂y-∂Hy/∂z＝Jx＋∂Dx/∂t
∂Hx/∂z-∂Hz/∂x＝Jy＋∂Dy/∂t
∂Hy/∂x-∂Hx/∂y＝Jz＋∂Dz/∂t

となります。
∂D/∂ｔは変位電流というものです。
昔はこのように書かれていました。
式は具体的ですが、先の見通しが立ちません。
ベクトル式で書くと、意味が解り易くなります。

gradはgradientで傾きです、電界の傾きが電位です（(1)式）。
rotは回転です、渦巻きなどを表現する時に便利です。
渦がないときは０です。静電界の回転rotは０です。

電流の周りに磁界が出来ます(アンペールの法則)。
この電流はJ（電流密度）ですが、
∂D/∂ｔという変位電流によっても磁界が出来ます。これが(2)式です。

(1)はVがスカラーですからスカラーポテンシャルといいます。

静電界の特徴は
rotE＝0
です。

しかし、磁界では（変位電流を考えないと）
rotH＝J

divB＝0であるから（注参照）
B＝rotAで現されるベクトルAを考えると
ベクトル解析の基本的式から
divB＝divrotA＝0・・・・・・・(3)

はいつでも成立します。

ベクトルAは磁界を特徴づけるもので、
これをベクトルポテンシャルといいます。

注：divB＝∂Bx/∂x＋∂By/∂y＋∂Bz/∂z
div=divergence発散はスカラーです。
電磁気学のテキストは電気工学向けに書かれたものが具体性があって分かり易いです。
物理学者が書かれた本は理論的で理解しにくいでしょう。
電気工学書の欄の参考書を利用されると良いと思います。
では、苦難の道が続きますが、頑張ってください。

回答No.1

puni2

うーむ…このスペースで説明するのはなかなかきついですねえ。

とりあえず質問に一言ずつこたえておきますと
「ベクトル場Xが，別のベクトル場AによってX=rot Aと書けるとき，AはXのベクトルポテンシャルという。」
「rot Vとは，ベクトル場Vの回転の強さを表す。例えばそのx成分は，∂Vz/∂y - ∂Vy/∂zとなる。」
「∂D/∂tとは，位置(x, y, z)と時間(t)の関数であるDを時間tだけで微分したものを表す。」
みたいな感じになりますが，これだけではたぶん通じなさそう…。

時間があるのであれば，「ベクトル解析」または「物理数学」といったタイトルの本をお読みになることをお薦めしますが，困り度3ですし…どうしましょう。
一応いくつか個人的な好みであげておくと，
物理数学の直観的方法（第２版）長沼伸一郎著　通商産業研究社，2000年8月
div, grad, rot,…　大槻義彦著　共立出版（物理学one point 6）1993年10月
詳説演習ベクトル解析　山内正敏著　培風館　1988年6月

あとは専門家のご回答に譲ることにして，私はこの辺で退散を…（そそくさ）