ζ（0）＝－1/2 ？ 無限大じゃないの？

質問

ゼータ関数がｓ＝0のとき
ζ(0)＝１＋１＋１＋１＋…
ですが、
なぜ、ζ(0)＝－1/2となるのかがわかりません。

そんなことが許されて良いものでしょうか？
また、許されるとするならば、どのような条件下で
許されるものなのでしょうか？

回答No.5

nikorin

>１+１+１+１+…＝－1/2　と書くと間違いなんですね
間違いというか、この表記にも何らかの意味が含まれていると私は思うんですが..

>役立つ例なんかがあるとおもしろいと面白いと思いますが、どうでしょう？
ζ(0)ではありませんが、
ζ(-3)=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+.......=1/120
はカシミール効果の計算で使われています。
カシミール効果とは、真空中に微小な距離aを隔てておいた帯電していない二枚の金属板
のあいだに、真空の零点エネルギーの影響で引力が働くというものです。

回答No.4

siegmund

siegmund です．

> 解析接続で無理やり出した等式で特殊な解
という表現はちょっと賛成しかねます．

(1)　　f(z) = 1/(1-z)
の Taylor 展開が
(2)　　f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ...
です．
z=2 を(1)に代入すれば f(2) = -1 ですが，
これを(2)で z=2 としたものから無理やり出した特殊な解とは言わないでしょう．

(1)と同様に，全複素平面で使える単一の定義式がζ関数にもあって，
それが Re(z) > 1 の場合に
(3)　　ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z　　　(Re(z)>1)
と変形してよいとなっているのです．
ζ関数の全複素平面で使える単一の定義式が(1)のように簡単なものでは
ないだけのことです．
ζ関数の全複素平面で使える単一の定義式を持ち出す代わりに
「(3)を解析接続して得られる関数がζ(z)」と言っても同じことです．
(1)の f(z) の定義の代わりに，(2)を解析接続して得られる関数，
と言ってもよいわけです．

ζ(0) = -1/2 が何かの役に立つかと？
さて，困りましたね～．
ζ(2) = π^2/6 とか ζ(4) = π^4/90 も何の役に立つかと言われると...
ζ(z) は数論と関係が密接ですから，そちらの関係で何かあるかも知れませんが，
私の知識では手に余ります．

なお，No.1 で書きましたリーマン予想
> z=-2, -4, -6, ... が零点で，
> その他の零点はすべて直線 Re(z) = 1/2 上にあります．
は，「任意の平方数の間に必ず素数がある」と同じことであることが
知られています．
3^2 と 4^2 の間に，ちゃんと素数(11,13)があるというわけです．

回答No.3

siegmund

siegmund です．

No.1 で書きましたように，ζ関数の定義は
(1)　　ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z　　　(Re(z)>1)
を解析接続して得られる関数ということです．
したがって，(1)に z=0 を代入しても意味はありません．

例えば，
(2)　　f(z) = 1/(1-z)
をｚでテーラー展開しまして
(3)　　f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ...
となりますが，もちろん |z| < 1 でしか使えません．
(3)に z=2 など代入しても意味がないわけです．
今のζ(0)の話も似たようものと思ったらいかがでしょう．

お礼

何度も投稿してくださってありがとうございます。

なるほど、こういう例がありましたか
この例を逆に考えると、値が発散してしまうような関数でも
なにか技をかけてやれば有限の値を吐き出させることが
可能な場合も考えられますね。（ちょっと強引ですが…）
この場合、技というのが解析接続であって、ζ(0)＝－1/2は
解析接続で無理やり出した等式で特殊な解というわけですね
（ζ(0)＝１+１+１+１+…＝－1/2　と書くと間違いなんですね）
あとは、この無理やり出した解が役立つ例なんかがあると
おもしろいと面白いと思いますが、どうでしょう？
（無理難題で申し訳ないです。）

回答No.2

nikorin

私もこの式はきちんと理解しているわけではなく、なんとなーく腑に落ちないのですが、
コメントさせていただきます。

ζ(0)＝－1/2
は、あくまで複素関数としての値だと思っています。
ゼータ関数の定義から
１＋１＋１＋１＋…＝－1/2
と書いてしまうと変な感じがしますが、イメージとしては、ゼータ関数をz=1を除く
複素平面で自然に拡張してやると、無限大が「繰り込まれて」有限値が残るのだと
理解すればよいのではないでしょうか。

回答No.1

siegmund

もちろん，許されませんよね．
リーマンのゼータ関数の表式の一つが
(1)　　ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z
ですが，(1)が有効なのは
(2)　　Re(z) > 1
の場合だけです．
Re(z) はｚの実数部の意味．
これは，(1)の和が収束する条件に他なりません．

(2)の条件が満たされないときは解析接続することになります．
(2)の条件のもとでの(1)を解析接続して得られる関数が
リーマンのζ関数である，ということです．

なお，ζ関数が無限大の値になるのは z=1 のときのみで，
ここは１位の極，留数は＋１です．
その他のｚでは正則，
z=-2, -4, -6, ... が零点で，
その他の零点はすべて直線 Re(z) = 1/2 上にあります．
零点の Re(z) = 1/2 は未解決の問題(リーマンの第５予想)で，
解決には１００万ドルの懸賞金がかかっています．
http://www.claymath.org/prizeproblems/riemann.htm