偏微分方程式の変換による線型方程式の導出とαの求め方

このQ&Aのポイント
  • 大学院の過去問に関する質問です。与えられた偏微分方程式に対して、2つの変換を行い線型方程式を導出します。しかし、αを適当に選んでも線型方程式にたどり着けません。質問者は変換の途中でミスをしているのかどうか、またαを選ぶことで線型方程式を得ることができるのか疑問に思っています。
  • 変換iでは、uを偏微分してψとする変換を行います。変換iiでは、ψをlogを用いてφとする変換を行います。これにより、与えられた偏微分方程式は線型方程式に変換されます。
  • しかし、質問者は変換の途中でミスをしている可能性があります。具体的にはu(∂u/∂x)の計算に誤りがあるかもしれません。また、αを適当に選んでも線型方程式にたどり着けないことから、変換の方法に問題があるのかもしれません。
回答を見る
  • ベストアンサー

偏微分方程式

ある大学院の過去問なんですが、小問が3つあるんですが、まず1つ目について教えてください。 『次のような u(x, t) に関する偏微分方程式を考える。     ∂u/∂t + u ∂u/∂x = ν ∂^2 u/∂x^2    (*) ここで、νは正の定数である。この時以下の問いに答えよ。 (1) (*)式に ψ(x, t) と φ(x, t) を用いた2段階の変換     i. u = ∂ψ/∂x     ii. ψ = αlogφ を行ない、定数αを適当に選ぶと φ(x, t) に関する線型方程式     ∂φ/∂t = ν ∂^2 φ/∂x^2    (**) が得られることを示せ。また、そのときのαを求めよ。』 と言う問題です。 変換i. ii. を行なってφの偏微分方程式には出来るのですが(合ってるかどうかは別問題) αをどう取っても(**)になりそうにないんです。(ってことは合ってないって事?) やったのは     u = ∂ψ/∂x = (∂/∂x)(αlogφ) = (α/φ)(∂φ/∂x)     ∂u/∂t = (∂/∂t){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(α/φ^2)(∂φ/∂t)(∂φ/∂x) + (α/φ)(∂^2 φ/∂t∂x)     ∂u/∂x = (∂/∂x){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2 φ/∂x^2)     u(∂u/∂x) = (α/φ)(∂φ/∂x){-(α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2 φ/∂x^2)}         = -(α^2/φ^3)(∂φ/∂x)^3 + (α/φ)^2(∂φ/∂x)(∂^2φ/∂x^2)     ∂^2u/∂x^2 = (∂/∂x){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(2α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2φ/∂x^2) までなんですが、これを(*)に代入するとすごい事になってとても(**)にたどり着けそうにないんです。 ここまでで既に間違ってるんでしょうか?それともこの状態でαを適当に選べば(**)が導けるんでしょうか? よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#2380
noname#2380
回答No.1

とりあえずできるところまでで、計算してみました。 偏微分の記号を(1)のように表現させていただきます。 (∂/∂t)=(Dt) (∂/∂x)=(Dx)  (1) 問題の偏微分方程式は、 [Dt+u*Dx-ν*(Dx*Dx)]u=0 (2) (2)式に、問題のヒントとして与えられている、変換式(3)を代入します。 u=(Dx)ψ (3) すると(2)式は (Dt)*(Dx)ψ+[(Dx)ψ][(Dx*Dx)ψ]-ν*(Dx)*(Dx)*(Dx)ψ=0 上式を整理すると Dx*((Dt)ψ+0.5*[(Dx)ψ]^2-ν*(Dx*Dx)ψ)=0 (4) (4)式を解くと (Dt)ψ+0.5*[(Dx)ψ]^2-ν*(Dx*Dx)ψ=g(t) (5) ここで、g(t)はtの任意の関数(当然0という定数でもよい)。 (5)式に変換式(6)を代入します。 ψ=α*log(φ) (6) ここから先の計算ははしょりますと α=2*νとすると、 (Dt)φ=ν*(Dx)*(Dx)φ+g(t) (7) という式が導出できます。 問題では、g(t)=0の特別な場合になっているようです。 誤記、誤解があったらゴメンなさい。

その他の回答 (2)

noname#2380
noname#2380
回答No.3

(6)より (Dt)Ψ = (α/Φ)(Dt)Φ               (イ (Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ                (ロ (Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ  (ハ と計算をされていますが、(ハの計算が異なるように思われます。 (Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ   をさらにxで偏微分すると、 (Dx)*(Dx)Ψ=[(Dx)(α/Φ)](Dx)Φ+(α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ となり、 -(α/Φ^2)[(Dx)Φ][(Dx)Φ] + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ   となります。たぶんこれでうまくいくのでは? ゴメンナサイ。 あとα=2*νではなくα=-2*νの誤記です。             

taropoo
質問者

お礼

(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ  (ハ は (Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2){(Dx)Φ}^2 + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ  (ハ ' の間違い、つまり (fg)' = f'g + fg' とすべき所を (fg)' = f' + fg' としてたという事ですね。 とても丁寧な解説、ありがとうございました。 今後ともよろしくお願いします。

noname#2380
noname#2380
回答No.2

No1でアドバイスさせていただきましたblue_monkeyです。 taropoo氏の質問を読み直すと、質問に対する直接的なアドバイス になっていないようです。 blue_monkeyも、始めにtaropoo氏のされたような方法で試みようとしたのですが、見通しが悪く、すごいことになりそうだと思いまして、少しやり方を変えてしまいました。このため、taropoo氏の質問からはずれてしまったような気がします。 とりあえず、問題を解く手がかりとしていただければ幸いです。

taropoo
質問者

補足

いえいえとんでもないです。 (4)への変形は目が覚める思いでした。これってさらっと積分してるんですよね? 同じく(5)も任意関数が出てくる所も納得です。 問題は(5)から(7)への変形なんですがどうもうまく行きません。 (6)より (Dt)Ψ = (α/Φ)(Dt)Φ (Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ (Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ これらを(5)に代入すると (α/Φ)(Dt)Φ + (1/2)(α/Φ)^2{(Dx)Φ}^2 - ν{-(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)*Φ) = g(t) この段階でg(t)=0としてしまい、全体を(α/Φ)で割ると (Dt)Φ + (1/2)(α/Φ){(Dx)Φ}^2 + ν(1/Φ)(Dx)Φ - ν(Dx)*(Dx)*Φ) = 0 となるのですが、α=2νとしても (Dt)Φ + (ν/Φ)[{(Dx)Φ}^2 + (Dx)Φ] - ν(Dx)*(Dx)*Φ) = 0 となってしまい、第2項が消えてくれません。 どこでミスってるんでしょうか?

関連するQ&A

  • 微分方程式

    dx/dt=a^2-x^2 (aは実数の定数) (1)この微分方程式は1階の線形同次・線形非同次・非線形のどれにあてはまるか。 (2)この微分方程式の一般解を変数分離法で求めよ。 考えたことは(1)は非線形だと思いますが、合っていますか? (2)はdx/(x^2-a^2)=-dtと変形し、両辺積分します。  すると、1/(2a)log(|x-a|/|x+a|) = -t + C このあとx=が分からないです。 教えてください。お願いします

  • 偏微分方程式のラプラス変換による解法

    皆様よろしくお願いいたします。 関数u(x,t)のtに関する偏微分∂u/∂t=u_t、とxに関する2回偏微分∂^2 u/∂x^2=u_xxとおくとき 偏微分方程式 u_t = a*u_xx (aは正の定数) 初期条件:u(x,0) = 0 境界条件:∂u/∂x = u_x = -k (kは正の定数)        lim[x→∞]u(x,0) = 0 をラプラス変換して解を求めようとしてますが、ラプラス変換した式が導けません。 偏微分方程式の解は分かっていているので、解をラプラス変換すると答えは次式になるようです。 U(s,x) = k√a・exp( -x*√(s/a) ) / s^(3/2) どのように導けばこうなるのかご教示ください。 ちなみに偏微分方程式の解は次式になります。(上式に入れて成り立つことを確認済み)  u(x,t)=2k√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - kx・erfc(x/√(4at)) (※erfcはガウスの余誤差関数です) 【途中までやってみた計算経過】 偏微分方程式を→s、x→yへそれぞれラプラス変換して整理すると U(s,y)=ak/{y(y^2-s/a)} となりました。これをy→xへラプラス逆変換すると U(s,x) = -ka^2/s + ( ka^2/(2s) ) exp(-x√(s/a) ) + ( ka^2/(2s) )exp(x√(s/a) ) となり、答えになりません。 しかもこれだと3項目が境界条件lim[x→∞]u(x,0) = 0に従わず∞に発散してしまいます。

  • 微分方程式

    t≧0で,x = x(t) に関する以下の微分方程式    (dx/dt) + (1/τ)x = (1/τ) cost が成り立つとき,以下の問いに答えよ。ただし,定数τは0ではない実数である。 (1) 微分方程式を解きなさい。ただし,x(0)=0とする。 (2) |τ|= 1 のとき,t → ∞ における(1)の解を求めよ。 よろしくお願いします。

  • 微分方程式について

    微分方程式の問題について2つほど聞きたいことがあります。 (1)y''+y'-2y=10 (1)の問題は、y''+y'-2y=0と考えて解いていいんですよね? 定数係数2階線形同次方程式と呼ばれるもので良いんですよね? (2)S(x)=(x^4)/(2×4)+(x^6)/(2×4×6)+(x^8)/(2×4×6×8)+・・・とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) S(x)が満たす1階の微分方程式を求めよ。 (2) 上記の微分方程式を解いてS(x)を求めよ。 という問題です。このような形の微分方程式はあまり見慣れません。 どのように解いていけばよいのかよく分かりません。 色々とお聞きしてしまい、申し訳ないんですが、よろしくお願いしますm(_ _)m

  • 偏微分方程式について

    ∂u/∂t = ∂^(2)u/∂x^(2) (0 < x < L , t > 0) u(0,t) = a , u(L,t) = b , u(x,0) = f(x) ただしa、bは定数であり、Lは正の定数である。 (1)∂u/∂t = 0 を満たす解 u0(x) を求めよ。 (2)v(x,t) = u(x,t) - u0(x) が満たす偏微分方程式および    境界条件を導け。 -------------------------------------------------------------------------- という問いです。 境界条件がu(0,t) = u(L,t) = 0 のパターンならわかるのですが こちらのパターンは全く手付かずです。。。 わかるかたいましたらお願いいたします。

  • 微分方程式で質問です

    『二階線形微分方程式 u''+2u'+5u=5sint を考える。  (1)u0(t)=αcost+βsint が特殊解となるように、定数α、βを定めよ。  (2)一般解を求めよ』 (1)はわかったのですが、(2)がわかりません。 u''+2u'+5u=0 を解いて、定数変化法でやろうかと思ったのですが(1)との繋がりが見えずに困っています。 よろしくお願いします。

  • 偏微分方程式の座標変換について

    次の問題がわかりません。 関数u(x,t)は次の偏微分方程式 ∂u/∂t = -2∂u/∂x - u - 2x を満足するものとする。 (1)ξ=x-2t , η=t なる座標変換を考える。関数uが満足するξとηに関する偏微分方程式を求めよ。 (2)v(ξ,η)=u*e^ηとおくとき、(1)の結果を用いて、関数v(ξ,η)の一般解を求めよ。 (3)境界条件u(0,t)=e^(-2t)+4を満足する関数u(x,t)を求めよ。 という問題です。わかる方がいたら回答よろしくお願いします。

  • 微分方程式 線形 非線形

    前回の質問の続きです。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q7818206.html ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、 ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは 理解できました。ありがとうございます。 微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と 非線形微分方程式を以下に示します。 線形微分方程式 (1)y”+y’-2x=0 (2)y’+xy=1 (3)(x-1)y''-xy'+y=0 非線形微分方程式 (1)(y”)^2+y’-2x=0 (2)x(y”’)^3+y’=3 (3)y・y’+xy=1 上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか? 非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか? y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか? 線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの でしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • 1階常微分方程式の問題が解けません

    大学の課題で出されたベルヌーイ型の微分方程式がどうしても解けません。 次のような問題です  dx/dt-2(t^2+1)x=-2x^2/t u=x^-1 とおいて同時線形微分方程式にすればいいのかと思ったのですが、 積分が難しくてとてもではないでけど解答の値がでてきませんでした。 解答の値は、  x=±(t^3/4+t/2+c/t)^(1/2) c:任意定数 となっています。 uの置き方をもっと工夫すべきなのか、単に積分計算が出来ていないだけなのか分かりません。 このように数式を書くのが初めてなので分かり辛い書き方ですみません。 お手数ですがよろしくおねがいします。

  • 数学  偏微分 方程式 について

    数学の偏微分方程式について教えて下さい。 1階線形偏微分方程式の問題で疑問に思ったので質問させて頂きます。 問題 ∂u/∂x+∂u/∂x=0 解答は、 u=f(x-y)「fは任意関数」でした。 任意関数fとはどんな関数でもいいのですか? 三角関数や指数関数はOKだと思いますが、 u=|(x-y)|やu=2(x-y) さらに、u=x^2(x-y)など微分出来ればどんな関数でも OKなんですか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。