数学の証明問題です（大学レベル）

質問

１　平均値の定理を用いて、「ある連続区間で定義された微分可能関数f(x)について、その区間上のすべての点における微分係数が0ならば、関数f(x)は定値関数である」を証明せよ
２　f'(x)=ex（eのx乗）であることを知っているとして、(log x)'を求めよ（理由も答えなさい）

以上の２問が、いまいちよく分からなくて困っています。どなたか数学に長けている方、お答え願えませんでしょうか。どちらか１問だけでも構いません。よろしくお願いいたします。

回答No.3

taropoo · ベストアンサー

寝起きの頭の体操。寝ぼけた頭をたたき起こすにはこれが一番良いんですよね。

(1)
平均値の定理と言うのは、
『f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続、開区間(a,b)において微分可能とすると
　　　　f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)
を満たすξが(a,b)の中に存在する。』
と言うものでしたよね？

そうすると任意のI⊃I'=[x1,x2]においてもf(x)はこの区間で連続、(x1,x2)で微分可能なのでやはり
　　　　f(x2)-f(x1) = f'(η)(x2-x1)
を満たすηが(x1,x2)に存在します。

仮定よりI=(a,b)の中にある全てのξでf'(ξ)=0なので、
この区間に含まれるI'=(x1,x2)の中にある全てのηでf'(η)=0、即ちf(x2)-f(x1)=0
これが任意のI⊃I'=[x1,x2]について成り立つので、a≦x1≦x2≦bを満たす任意のx1,x2について
f(x1) = f(x2)
これはf(x)が区間I=[a,b]において定数関数である事を示す。

(2)
『f(x)がx0で微分可能とし、f'(x0)≠0 とする。f(x) が x0 の近傍でも連続で強い意味の単調関数とする時
y0 = f(x0) とすると逆関数 {f^(-1)}' も y0 で微分可能で、
　　　　{f^(-1)}'(y0) = 1/f'(x0)』
という事が言えます。
（証明）
　　　　f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0)　　　　（α(x)は x0 で連続）
とおくと x0 の近傍で α(x) = f'(x)である。
上の式に x = {f^(-1)}'(y), x0 = {f^(-1)}'(y0) を代入すると
　　　　f・{f^(-1)}(y) = f・{f^(-1)}'(y0) + α{f^(-1)}(y) [{f^(-1)}(y) - {f^(-1)}(y0)]
f・{f^(-1)}(y) = y だから
　　　　y = y0 + α{f^(-1)}(y) [{f^(-1)}(y) - {f^(-1)}(y0)]
　　　　{f^(-1)}(y) = {f^(-1)}(y0) + [1/{αf^(-1)}] (y - y0)
{f^(-1)}(y)は y0 で連続で α(x0) = f'(x0) ≠ 0 だから 1/α{f^(-1)}(y) は y0 で連続、
したがって{f^(-1)}(y)は y0 で微分可能で
　　　　{f^(-1)}(y0) = 1/{αf^(-1)}(y0) = 1/f'(x0)　　　　（証明終）

x0,y0 を x,y に広げると
　　　　{f^(-1)}'(y) = 1/f'(x)
これを使います。
y = f(x) = e^x とすると {f^(-1)}(y) = log y, f'(x) = e^x = y
よって
　　　　(log y)' = 1/y
y を x に書きなおして
　　　　(log x)' = 1/x
です。

理解できなかったらまず微分可能の定義
　　　　f(x) = f(x0) + α(x - x0) + g(x)
　　　　lim{x→x0} g(x)/(x - x0) = 0
および次の性質
『f(x) が x0 で微分可能であるための必要十分条件は、x0の近傍で定義され、x0 で連続な関数 α(x)があって、
x0 の近傍で
　　　　f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0)
と表される事である。この時 f'(x0) = α(x0) である。』
（証明）
α(x) = {f(x) - f(x0)}/(x - x0)　（x≠0), α(x0) = f'(x0)
と定義するとlim{x→x0} α(x) = α(x0), かつ f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0)
逆に、f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0) = f(x0) + α(x0)(x - x0) + {(α(x) - α(x0)}(x - x0)
そこで g(x) = {(α(x) - α(x0)}(x - x0) とおくと
　　　　lim{x→x0} g(x)/(x - x0) = lim{x→x0} {α(x) - α(x0)} = 0　　　　（証明終）
を参考にしてください。

お礼

早々のご回答ありがとうございました。ここまで詳細に回答していただけるとは・・・(^^)。参考にさせていただきます。

回答No.2

redbean

２のヒントだけ。

e^x の微分は分かりますよね。f''(x)です。
ここで、逆関数微分の公式をあてはめれば
いいのです。

お礼

早々のご回答ありがとうございました。そうですね。逆関数微分の公式に適用すればいいんですよね。参考になりました。

回答No.1

hitomi_sa

＃学部４年でしかも専門が代数だと、「経験者」じゃなくて
＃「一般人」になってしまうのかもしれない・・・。

（１）　平均値の定理を使えと書いてあるのがポイント。
微分可能な関数ｆ（ｘ）は［ａ，ｂ］で定義されていて、その
区間で連続であるものとします。
ａ≦ｓ＜ｔ≦ｂ となるような任意のｓ，ｔ （実数）に対して、
平均値の定理から、

（ｆ（ｔ）－ｆ（ｓ））/（ｔ－ｓ） ＝ ｆ’（ｃ）

・・・となるようなｃがｓ＜ｃ＜ｔの間になるものが存在する
はずですが、ｆ’（ｃ）は「すべての点における微係数が０」
・・・ですから、それは０のはずです。

すると、ｆ（ｔ）＝ｆ（ｓ）となりますが、ｔ，ｓは
ａ≦ｓ＜ｔ≦ｂ　の条件下で取ることができますから、
ｆ（ｘ）は定数関数です。

＃ ・・・でいいのかなぁ。

お礼

早々のご回答ありがとうございました。これを参考に何とかやってみたいと思います。