数列の和を求める問題

質問

次の和を計算せよ。
Ｓ＝1/2＋2/2^2＋3/2^3＋4/2^4＋5/2^5＋6/2^6

という問題ですが、このパターンを見たのは初めてなのでどこから手をつけてよいのかわかりません。
もしかしたらＳを何倍かして引くんでしょうか。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

maruru01 · ベストアンサー

こんにちは。maruru01です。

>もしかしたらＳを何倍かして引くんでしょうか。
その通りです。

まず、
2/2^2＝2*(1/2)^2
なので、（*は掛け算）
Sn＝(1/2)+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+・・・+n*(1/2)^n　－(1)

両辺に1/2を掛けると、
(1/2)*Sn＝(1/2)^2+2*(1/2)^3+3*(1/2)^4+・・・(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1)　－(2)

(1)－(2)を両辺で行うと、
Sn-(1/2)*Sn＝(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+・・・+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)　－(3)

ここで、(3)の右辺の最終項を除いた部分は、ちょうど
初項＝1/2
公比＝1/2
の等比数列になっています。

したがって、等比数列の和の公式
S'n=a(1-r^n)/(1-r)
に当てはめて、
1/2*Sn＝S'n+n*(1/2)^(n+1)
1/2*Sn＝1/2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-n*(1/2)^(n+1)
1/2*Sn＝1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
したがって、
Sn＝2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n
となります。

質問欄の例で、n＝6を代入すると、
S6＝2-(1/2)^5-6*(1/2)^6
で、No.1の方の回答の通り、1.875になります。

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

yaksa

横着な解き方としては、
もし、微分を習っているのなら、

等比数列の和
Σ_[k=1,n]{x^k} = x(1-x^n)/(1-x)
の両辺をxで微分して、
Σ_[k=1,n]{k*x^(k-1)} = (1-x^n-nx^n)/(1-x) + x(1-x^n)/(1-x)^2
両辺にxをかけて、
Σ_[k=1,n]{k*x^k} = x(1-x^n-nx^n)/(1-x) + x^2(1-x^n)/(1-x)^2
x=1/2を代入して、
Σ_[k=1,n]{k/2^k} = 2- (1/2)^(n-1) - n*(1/2)^n
というやり方もあります。

お礼

来月微分を習うので、それから挑戦してみます。

回答No.1

hide157

2^2は2の2乗という意味じゃないでしょうか？　計算した結果、1.875と出ました。