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位置エネルギーと高さと時間
地面から１メートルの高さでリンゴから手を離すより、10メートルの高さで離す方が、運動エネルギーに変換される位置エネルギーが大きいので地面の凹みが大きいですよね。 リンゴを地球から遠くに離せば離すほど位置エネルギーは大きくなりますが、無限大の遠くに持っていくと、地球からの重力が届かず、位置エネルギーがほぼ無限大から急にゼロになってしまい、連続性が保たれていないですよね。 リンゴの運動エネルギーは、地面からの高さも影響しますが、手を離してから地面に衝突するまでの落下時間、重力を受ける時間で決まるとも言えるのでは…。
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> リンゴを地球から遠くに離せば離すほど位置エネルギーは大きくなりますが、無限大の遠くに持っていくと、地球からの重力が届かず、位置エネルギーがほぼ無限大から急にゼロになってしまい、連続性が保たれていないですよね。 地球から遠くに離せば離すほど位置エネルギーは大きくなるのはその通りですが，無限大の遠くでも地球からの重力は届きます。また「位置エネルギーがほぼ無限大から急にゼロになってしまい」なんてことはありません。遠くなるほど位置エネルギーは大きくなりますが，無限に大きくなるわけではありません。上限があります。無限遠点ではその上限値になります。 万有引力はF = GMm/r^2です。それによる位置エネルギーはこれをrで積分したものです。U=∫Fdr=-GMm/r+(積分定数)ですね。位置エネルギーの基準としてこの積分定数が無限遠点で0になるようにすれば位置エネルギーは負の値をとります。 さて距離R+hでの位置エネルギーは-GMm/(R+h)，距離Rでの位置エネルギーは-GMm/(R)となりますからその差は ⊿U=(-GMm/(R+h))-(-GMm/(R)) =GMm(1/R-1/(R+h)) =GMm/R*(1-1/(1+h/R)) ≠GMm/R*(1-(1-h/R)) （有名な近似式です） =GMm/R*(h/R) =mgh （g=GM/r^2です） > リンゴの運動エネルギーは、地面からの高さも影響しますが、手を離してから地面に衝突するまでの落下時間、重力を受ける時間で決まるとも言えるのでは…。 重力加速度gが一定と考えられる状況なら，手を離してから地面に衝突するまでの落下時間の2乗がリンゴの運動エネルギーに比例します。ですが，「リンゴを地球から遠くに離せば離すほど」というくらいに重力加速度gが一定と考えられない状況ではそうではありません。
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- ohkawa3
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＞位置エネルギーがほぼ無限大から急にゼロになってしまい、連続性が保たれていない・・・ 既に沢山の回答がありますが、位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）の値は、特定の位置から無限遠まで連続的に変化し、不連続点はありません。 それほど難しい積分演算ではありませんから、距離と力の積を、特定の位置から無限遠まで積分してみましょう。発散することなく、一定値に収束することが確かめられる筈です。 これとは逆に、特定の位置から距離ゼロまで積分しようとすると、無限大となってしまい、実用上有用な結果を得られません。 直接の回答にはならないかもしれませんが、次のURLの情報を参考になさってください。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC https://oshiete.goo.ne.jp/qa/25554.html
- takochann2
- ベストアンサー率36% (2465/6790)
どれだけ遠くても地球の重力は0にはなりません。無限遠では無限に小さい地球の重力が働いています。もちろん衝突するまでの時間も距離で変化しますので距離が延びれば落下までの時間も位置エネルギーも大きくなります。
- maskoto
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(続き) 落下時間と運動エネルギーについてです 二通りのケースで考えないといけないかと思います １、りんごを持つ手の地表からの高さを色々な値にかえて、 りんごが、手を離れてから地表に到達するまでの所要時間を考える場合 このケースでは、所要時間と 手のある位置の高さは １対１に対応してるので 従って、 地面からの高さで決まる りんごの運動エネルギーは 落下時間によっても 決まると言えると思います ２、手の高さは固定して 手を離す時刻から、 例えば０.１秒刻みに運動エネルギーを見ていく場合 りんごの落下速度は、まさに加速度的に増していきますから 最初の０.１秒間よりは、次の０.１秒間のほうが、運動エネルギーの増加は大きく 次の０.１秒間よりは、次の次の０.１秒間 のほうが、更に運動エネルギーの増加は大きく それよりは次の次の次の０.１秒間のほうが… というように、落下時間の幅を０.１秒間に統一しても ０.１秒間が落下開始あたりの時のものなのか、 それとも、地面に近い時のものなのかによって運動エネルギー(の増加量)は異なるので この場合は、運動エネルギーが落下時間で決まるとは言えないかと思います 以上のように考えてみました
- Nakay702
- ベストアンサー率79% (10024/12548)
お礼コメントをありがとうございました。 ところで、「無限遠」という名称は紛らわしくて、誤解を生みやすい術語ですね。 分かりやすい説明が、 https://www.denversroadhome.org/archives/402 にありました。重要部分を一部引用しておきます。 《無限遠とは？ 重力による位置エネルギーでは、基準を定め、基準位置では位置エネルギーが０になりました。ではなぜ、万有引力による位置エネルギーでは基準を無限に定めるのでしょうか？ （ここでの無限遠は「無限遠方」とか、「無限遠点」などと同じ意味です） 「基準を無限遠に定める」を数式で表すと、r=∞ です。 基準を無限遠に定めることで、基準位置での位置エネルギーがゼロになるのです。万有引力の位置エネルギーを考える際に、無限遠を導入する理由は、「万有引力による位置エネルギーを分かりやすくするため」なのです。》
- QCD2001
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＞無限大の遠くに持っていくと、地球からの重力が届かず、 いいえ、重力はわずかに届きます。地球からの重力は「無限小」になりますが、無限小は「ゼロ」ではありません。 従って、位置エネルギーは無限大です。 無限小の極限とゼロとは全く異なります。 「ゼロ」に無限大を掛け算してもゼロですが、「無限小」に無限大をかけた場合は、その無限小と無限大がどのような無限小と無限大であるかによって、無限小のままであったり、無限大になったり、有限の値になったりします。 リンゴを無限遠に持って行った場合の位置エネルギーは無限大になります。
- Nakay702
- ベストアンサー率79% (10024/12548)
以下のとおりお答えします。 ＞地面から１メートルの高さでリンゴから手を離すより、10メートルの高さで離す方が、運動エネルギーに変換される位置エネルギーが大きいので地面の凹みが大きいですよね。 ⇒はい、位置エネルギーは「ポテンシャル・エネルギー」とも言われるように、潜在的に持っているエネルギーで、いわば貯金のようなものですよね。それがどう使われるかに応じて、等価の力に《変身》するわけですね。ということは、それが運動エネルギーに変換される場合、距離（高さ）の差に応じた大きさ・強さの力に変わることは間違いないと言えます。 ＞リンゴを地球から遠くに離せば離すほど位置エネルギーは大きくなりますが、無限大の遠くに持っていくと、地球からの重力が届かず、位置エネルギーがほぼ無限大から急にゼロになってしまい、連続性が保たれていないですよね。 ⇒「無限遠」は確かに、位置エネルギー・ゼロと見なされる位置、すなわち、位置エネルギーのための基準点であり、換言すれば、「（仮想的）絶対位置」のことですよね。ですから、そのままではエネルギー・ゼロですが、例えば、そこにあるリンゴが地球に落下する場合を想定すると、その時初めて連続性（関係性）が出てくるわけです。そして、動き始めるとポテンシャル・エネルギーが運動エネルギーに変身します。運動エネルギーは「質量＋距離」に比例しますので、10メートルの高さで離すよりは無限遠から来る方が遙かに大きな凹みを地面に作ることになります。 ＞リンゴの運動エネルギーは、地面からの高さも影響しますが、手を離してから地面に衝突するまでの落下時間、重力を受ける時間で決まるとも言えるのでは…。 ⇒「エネルギーは、その値そのものというよりは、その差・互換性に意味がある」と言われます。つまり、重力や距離（加速度）の《差》に応じた大きさのエネルギーに《互換》されることになります。ですからこの場合、（上に述べたことも考え合わせると）「リンゴの運動エネルギーは、手を離してから地面に衝突するまでの落下時間、重力を受ける時間で決まる」というのとは微妙なずれがあるかも知れませんね。 なお、「運動エネルギーと位置エネルギーの和は等しい」というのが、エネルギー保存則の１つとされます。
お礼
ポテンシャルエネルギー、潜在的にはどの星も無限大に近い位置エネルギーを持っている訳ですね。感動的です。無重力空間を浮遊している隕石は、そのエネルギーの大半が潜在的位置エネルギーかもですね。ありがとうございます。
- maskoto
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要点は、無限大、と言う地点は実際にはない と言う事だと思います ニュートンの万有引力に関する式は 引力 ＝比例定数×地球の質量×物体の質量÷距離² となるそうですから 地球と物体の距離が10倍になれば、2者の間に働く万有引力は1/100倍になると言う事だと思います すると、物体が距離1万離れ所から更に離れ 距離10万となると、引力は１/100倍 結構小さくなるけど、万有引力はまだ０ではない 更に離れて距離100万となると、更に引力は１/100倍になるが、それでもなお引力は0ではない 更に距離1000万となっても、1億… となってもこの事情は変わらない どこまで離れても、かすかに引力は残るので 万有引力による位置エネルギーの連続性は保たれている事になる このように思うのですがいかがでしょうか 投稿分の後半の内容については、明日起きてから投稿させていただきますのでよろしくお願いします
お礼
私の不得手な積分計算なのですね。トホホ…。 ニュートンのリンゴは、３種類の計算式が存在する印象を受けました。 A. 地表近くでは、高さが10メートルでも100メートルでも加速度ｇは９．８m/sで一定と見なして、 Ｕ＝mgh の近似式で通用する。 B. 地表から遠くでは、万有引力の公式を使うが、地球は不動でリンゴだけが落下したと考える。 C. より厳密には、万有引力の公式を使うが、地球もリンゴも動いてお互いに近づき衝突したと考える。 ありがとうございます。