数学A 円順列の問題

質問

先生2人と生徒6人が円卓のまわりにすわる時、次のような並べ方は何通りあるか。

(１)先生２人が隣り合う。
(２)先生２人が向かい合う。

(１)で私は、先生2人が隣り合っているところをひとまとまりと考えて全部で7個とし、円順列の公式が（ｎ－1）！と習ったので（７－１）！にしました。２！は、先生２人をひとまとまりと考えたときに座り方が2通りあると思ったので設定しました。
それを踏まえて
（7－1）！×２！＝４８０通り
という式をつくったのですが、間違いでした。
どの考え方が間違っていたのでしょうか？

(２)は、先生2人が向かうあう方法が1通りらしいのですが
先生は2人いて場所をを入れ替えれば、2通りではないのですか？

長文ごめんなさい。
どなたかご教授くださいm(__)m

回答No.1

Higurashi777 · ベストアンサー

(1)について
考え方は合っています。
ただし、(7-1)!＝6!＝720ですよね。
これに先生二人の並び順2通りを掛けると1440通りになります。

(2)について
円順列の基本として「回転して一致する並べ方は同じ」です。
今回の場合、先生の位置が入れ替わったとしても回転すれば同じになりますから、２通りと分ける必要はありません。

以上、ご参考まで。

お礼

円順列の考え方「回転して一致する並べ方は同じ」
が抜けていました。
ご回答ありがとうございますm(__)m

回答No.4

maskoto

補足
Aスタートで円を計回りに回る順列を考えてください
もちろん、Aスタートで反時計回りの順列でも良いです
いづれにせよ、回転方向を統一します

お礼

ありがとうございますm(__)m

回答No.3

maskoto

(1)
単なる計算ミスです
6！×2！＝6×5×4×3×2×2
＝10×6×4×3×2
＝10×72×2　
＝1440です

(2)公式に頼らない
円順列の考え方の基本は以下です
((1)でも公式に頼らず以外の考え方を採用したほうが理解は深まると思います)

先生をA、B
生徒をC〜Hと命名する
回転すると重複するものがあるので
誰か一人に着目して、その一人がスタートとなる順列(円順列でなく単なる順列)を数えると
これが求めるべき円順列の数と一致する
そこで、Aをスタートとする順列を考える
題意にかなっている並びは
A◯◯◯B◯◯◯
(◯には生徒が入る)
のみであり
◯に生徒が入る順列が6！通り
Aをスタートに固定だから
A、Bの入れ替えを考えてはいけない事になり
×2は不要
となります

で、念のために、Bスタートは考慮しなくてよいのか見てみます
この6！通りの中の一例に
A、C、D、E、B、F、G、H
がありこれを1通りとカウントしています
Bスタートで数えても
6！通りとなりますが
このなかに
B、F、G、H、A、C、D、E
がありますから
重複です
やはり、Aスタートのみ考えれば良いことがわかりますよね

お礼

詳しくありがとうございますm(__)m
公式に頼り切らないようにしようと思います！

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞（7－1）！×２！＝４８０通り
＞という式をつくったのですが、間違いでした。
＞どの考え方が間違っていたのでしょうか？

先生が二人居るから２通り、が間違いです。

先生をAB、生徒をCDEFGHとした時

ABCDEFGH
のABを入れ替えた
BACDEFGH
は
ACDEFGHB
と重複します。

「Aを基準にして並べた時」

それと、
＞（7－1）！×２！＝４８０通り
は計算違いです。上記の式の答えは１４４０です（それも間違いですが）

＞(２)は、先生2人が向かうあう方法が1通りらしいのですが
＞先生は2人いて場所をを入れ替えれば、2通りではないのですか？

それを２通りと考えると
ACDEBFGH
のABを入れ替えた
BCDEAFGH
と
AFGHBCDE
を重複して２重に数えてしまいます。

「Aが決まればBは自動的にAの真向いに座る」と考えると「Bは存在しない者として考えて良い」のです。「存在しないとしたBと、Aを入れ替えて２重に数える」のは、間違いだと気付く筈です。

お礼

詳しく教えてくださり、ありがとうございましたm(__)m